Doğrunun Genel Denklemi

Doğrunun genel denklemini, doğrunun parametrik denkleminden t parametresini yok ederek buluruz.

Motivasyon

Doğrusal fonksiyonu hatırlıyor musun? Grafiği tam olarak bir doğrudur. Doğrusal fonksiyonun temel biçimi y = ax + b şeklindedir. A(0, 3), B(2, 7) noktalarından geçen p doğrusuna bakalım:

Grafiği tam olarak bu p doğrusu olan doğrusal fonksiyonu bulalım. Bu fonksiyon y = ax + b biçimindedir. Doğru A(0, 3) noktasından geçtiğine göre fonksiyon x₁ = 0 için y₁ = 3 değerini alır. Yani a · 0 + b = 3 denklemi sağlanmalıdır. Doğru B(2, 7) noktasından da geçtiği için fonksiyon x₂ = 2 için y₂ = 7 değerini alır, dolayısıyla aynı zamanda a · 2 + b = 7 denklemi de sağlanmalıdır. Aradığımız şey a, b katsayılarıdır. Bir denklem sistemi elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

a · 0 + b = 3 ilk denkleminden b katsayısını kolayca buluruz: b = 3. Bu sonucu ikinci denklemde yerine yazalım, yani a · 2 + b = 7 denkleminde b yerine üç koyalım:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

Böylece iki katsayıyı da bulduk: a = 2, b = 3. Yukarıdaki doğruyu anlatan fonksiyon y = 2x + 3 biçimindedir. x yerine x = 1 yazarsak y = 2 + 3 = 5 buluruz; bu da doğrunun grafiğiyle uyuşur. y = 2x + 3 ifadesini, sağ tarafta sıfır kalacak biçimde de yazabiliriz. Bunun için denklemin iki tarafına −(2x + 3) ekleriz. Şu denklemi elde ederiz:

$$y-2x-3=0$$

Bu denkleme doğrunun genel denklemi denir.

Doğrunun Genel Denkleminin Tanımı

Yukarıdaki yöntem biraz karmaşıktır; üstelik doğru y eksenine paralel, yani dikey olduğunda kullanılamaz, çünkü böyle bir doğru hiçbir fonksiyonu göstermez. Bu yüzden doğrunun genel denklemini bir de başka yoldan tanımlayacağız. Şu biçimdeki her doğrusal denklem

$$ax+by+c=0,$$

(burada a,b,c ∈ ℝ ve a, b sayılarından en az biri sıfırdan farklı) düzlemde bir doğrunun denklemidir. Düzlemdeki her doğru da bu biçimde yazılabilir. Bu denkleme doğrunun genel denklemi deriz. Genel denklemi doğrunun parametrik biçiminden kolayca bulabiliriz. Doğru

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

parametrik denklemiyle verilmişse, genel denklemi parametrik denklemden t parametresini yok ederek buluruz. Örnek olarak yine A(0, 3), B(2, 7) noktalarıyla verilen doğrudan gidelim. $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçasından yön vektörünü $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ buluruz.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

p doğrusuna, $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörüyle birlikte bir daha bakabiliriz:

A noktasına ve $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörüne göre parametrik denklemi yazalım:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Genel denklemi bulmak için bu iki denklemi, t parametresi yok olacak biçimde toplamalıyız. Önce birinci denklemi −2 ile çarparız, ikinciyi değiştirmeyiz:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Şimdi iki denklemi toplayıp tek bir denklem elde edelim:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Bu, p doğrusunun genel denklemidir. Önceki yöntemle tamamen aynı denklemi bulduğumuzu görüyoruz.

Doğrunun Genel Denklemi Ne İşe Yarar

Genel denklem, doğruyu oluşturan tüm noktaları belirler. ax + by + c = 0 biçimindeki genel denklemde x,y bilinmeyenleri yerine, denklemi sağlayacak gerçek sayılar yazarsak (x, y) bu doğrunun bir noktasıdır. Genel denklemi y − 2x − 3 = 0 olan önceki doğruya dönelim. x,y yerine x = 1, y = 5 değerlerini yazarsak şu denklemi elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Bu, (1, 5) noktasının doğru üzerinde olduğu anlamına gelir. x = 2, y = 3 yazmayı denersek şu denklem çıkar:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Denklem sağlanmıyor, yani (2, 3) noktası p doğrusu üzerinde değildir. Bunu şekilden de kontrol edebiliriz:

Dikey Doğru

Dikey bir p doğrusunun genel denklemini, ilk bölümde anlatılan yöntemle bulamayacağımızı söylemiştik, çünkü dikey doğru hiçbir fonksiyonu göstermez. Yine de böyle bir doğrunun da genel denklemi vardır; onu önceki bölümdeki yöntemle buluruz.

Bunu A(4, 2), B(4, 8) noktalarından geçen doğru üzerinde gösterelim. Yön vektörü $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ şöyledir:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Şekil:

A noktasına ve $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörüne göre parametrik denklem şöyle olurdu:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Şimdi t parametresini yok etmemiz gerekirdi. Ancak birinci denklem bize bu işi zaten kolaylaştırdı: birinci denklemde t parametresi yok, daha doğrusu çarpanı hep sıfır. Bu yüzden bu denklemin tamamını p doğrusunun genel denklemi olarak kullanabiliriz. Böylece p doğrusunun genel denklemi

$$x-4=0$$

olur. Yani ax + by + c = 0 denklemindeki a,b,c katsayıları a = 1, b = 0, c = −4 değerlerine eşittir.

Yatay Doğru

Bir örnek daha gösterelim; bu kez A(2, 1), B(5, 1) noktalarından geçen yatay bir doğru olsun. Yön vektörü $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ şuna eşittir:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Şekil:

A noktasına göre doğrunun parametrik denklemi şöyle olurdu:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Burada da t parametresini yok etmemize gerek olmadığını görüyoruz, çünkü ikinci denklemde çarpanı sıfırdır. İkinci denklemi doğrudan p doğrusunun genel denklemi olarak kullanabiliriz:

$$y-1=0$$