Allgemeine Geradengleichung

Die allgemeine Geradengleichung erhalten wir aus der Parameterform der Geraden, indem wir den Parameter λ eliminieren.

Motivation

Erinnerst du dich an die lineare Funktion? Ihr Graph ist genau eine Gerade. Die Grundform der linearen Funktion ist dabei y = mx + b. Schauen wir uns die Gerade p an, die durch die Punkte A(0 ∣ 3), B(2 ∣ 7) verläuft:

Wir bestimmen die lineare Funktion, deren Graph genau diese Gerade p ist. Diese lineare Funktion hat die Form y = mx + b. Dass die Gerade durch den Punkt A(0 ∣ 3) verläuft, sagt uns, dass die Funktion an der Stelle x₁ = 0 den Funktionswert y₁ = 3 hat. Es muss also die Gleichung m · 0 + b = 3 gelten. Weil die Gerade durch den Punkt B(2 ∣ 7) verläuft, hat die Funktion an der Stelle x₂ = 2 den Funktionswert y₂ = 7, also muss gleichzeitig die Gleichung m · 2 + b = 7 gelten. Wir suchen die Koeffizienten m, b. Es entsteht ein Gleichungssystem:

$$\begin{array}{rcl}m\cdot 0+b& =& 3\\ m\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Aus der ersten Gleichung m · 0 + b = 3 erhalten wir leicht den Koeffizienten b, er ist gleich b = 3. Dieses Ergebnis setzen wir in die zweite Gleichung ein, d. h. in die Gleichung m · 2 + b = 7 setzen wir für b die Zahl drei ein:

$$\begin{array}{rcl}m\cdot 2+b& =& 7\\ m\cdot 2+3& =& 7\\ m\cdot 2& =& 4\\ m& =& 2\end{array}$$

Und wir haben beide Koeffizienten: m = 2, b = 3. Die Funktion, die die vorige Gerade beschreibt, hat die Form y = 2x + 3. Setzen wir für x den Wert x = 1 ein, erhalten wir y = 2 + 3 = 5, was mit dem Graphen der Geraden übereinstimmt. Die Form y = 2x + 3 können wir noch so umschreiben, dass auf der rechten Seite null steht, d. h., wir addieren zur Gleichung −(2x + 3). So erhalten wir die Gleichung:

$$y-2x-3=0$$

Diese Gleichung heißt allgemeine Geradengleichung.

Definition der allgemeinen Geradengleichung

Das vorige Vorgehen ist etwas umständlich und außerdem nicht anwendbar, wenn die Gerade parallel zur y-Achse ist, d. h. wenn sie senkrecht verläuft, denn eine solche Gerade beschreibt keine Funktion. Die allgemeine Geradengleichung führen wir deshalb noch auf andere Weise ein. Wir sagen, dass jede lineare Gleichung der Form

$$ax+by+c=0,$$

wobei a,b,c ∈ ℝ und mindestens eine der Zahlen a,b ≠ 0 ist, die Gleichung einer Geraden in der Ebene ist. Dabei lässt sich jede Gerade in der Ebene in dieser Form ausdrücken. Diese Gleichung nennen wir dann allgemeine Geradengleichung. Wir können sie einfach aus der Parameterform der Geraden ermitteln. Ist die Gerade durch die Parametergleichung

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+\lambda \cdot u_1\\ y& =& a_2+\lambda \cdot u_2,\end{array}$$

beschrieben, ermitteln wir die allgemeine Gleichung, indem wir aus der Parametergleichung den Parameter λ eliminieren. Beispiel: Bleiben wir bei der vorigen Geraden durch die Punkte A(0 ∣ 3), B(2 ∣ 7). Wir bestimmen den Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ aus der gerichteten Strecke $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(2\mid 7)-(0\mid 3)=(2\mid 4)$$

Wir können uns die Gerade p mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ noch einmal ansehen:

Wir drücken die Parametergleichung mithilfe des Punktes A und des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ aus:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+\lambda \cdot 2\\ y& =& 3+\lambda \cdot 4\end{array}$$

Um die allgemeine Gleichung zu erhalten, müssen wir diese zwei Gleichungen so addieren, dass sich der Parameter λ aufhebt. Zuerst multiplizieren wir also die erste Gleichung mit −2, die zweite lassen wir unverändert:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-\lambda \cdot 4\\ y& =& 3+\lambda \cdot 4\end{array}$$

Und jetzt addieren wir beide Gleichungen und erhalten eine Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+\lambda \cdot 4-\lambda \cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Das ist die gesuchte allgemeine Geradengleichung der Geraden p. Wir sehen, dass wir genau dieselbe Gleichung erhalten haben wie beim vorigen Vorgehen.

Wozu dient die allgemeine Geradengleichung

Die allgemeine Gleichung bestimmt alle Punkte, aus denen die Gerade besteht. Setzen wir in die allgemeine Gleichung der Form ax + by + c = 0 für die Unbekannten x,y solche reellen Zahlen ein, dass die Gleichung erfüllt ist, dann ist (x ∣ y) ein Punkt dieser Geraden. Kehren wir zur vorigen Geraden zurück, die durch die allgemeine Gleichung y − 2x − 3 = 0 beschrieben wird. Setzen wir für x,y die Werte x = 1, y = 5 ein, erhalten wir die Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Das bedeutet, dass der Punkt (1 ∣ 5) auf der Geraden liegt. Versuchen wir, x = 2, y = 3 einzusetzen, erhalten wir die Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Die Gleichung ist nicht erfüllt, der Punkt (2 ∣ 3) liegt nicht auf der Geraden p. Wir können das auch im Bild überprüfen:

Senkrechte Gerade

Wir haben schon angedeutet, dass wir die allgemeine Gleichung einer senkrechten Geraden p nicht mit dem im ersten Kapitel beschriebenen Vorgehen erhalten könnten, weil eine senkrechte Gerade keine Funktion beschreibt. Trotzdem hat auch eine solche Gerade ihre allgemeine Gleichung, die wir mit dem im vorigen Kapitel beschriebenen Vorgehen erhalten.

Wir zeigen es an der Geraden, die durch die Punkte A(4 ∣ 2), B(4 ∣ 8) verläuft. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ hat die Form:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(4\mid 8)-(4\mid 2)=(0\mid 6)$$

Bild:

Die Parametergleichung bezüglich des Punktes A und des Richtungsvektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ würde so aussehen:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+\lambda \cdot 0\\ y& =& 2+\lambda \cdot 6\end{array}$$

Nun sollten wir den Parameter λ eliminieren. Die erste Gleichung hat uns aber die Arbeit schon abgenommen: In der ersten Gleichung kommt kein Parameter λ vor, bzw. er ist immer mit null multipliziert, also können wir die ganze Gleichung als allgemeine Geradengleichung von p verwenden. Die Gerade p hat also die allgemeine Gleichung

$$x-4=0$$

Die Koeffizienten a,b,c in der Gleichung ax + by + c = 0 sind also a = 1, b = 0, c = −4.

Waagrechte Gerade

Wir zeigen noch ein weiteres Beispiel, mit einer waagrechten Geraden, die durch die Punkte A(2 ∣ 1), B(5 ∣ 1) verläuft. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ist gleich:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(5\mid 1)-(2\mid 1)=(3\mid 0)$$

Bild:

Die Parametergleichung der Geraden bezüglich des Punktes A würde so aussehen:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+\lambda \cdot 3\\ y& =& 1+\lambda \cdot 0\end{array}$$

Wieder sehen wir, dass wir den Parameter λ nicht eliminieren müssen, denn in der zweiten Gleichung ist er mit null multipliziert. Wir können also direkt die zweite Gleichung als allgemeine Geradengleichung von p verwenden:

$$y-1=0$$