Equação geral da reta

A equação geral da reta é obtida a partir das equações paramétricas da reta eliminando o parâmetro t.

Motivação

Você se lembra da função afim? O gráfico dela é justamente uma reta. A forma básica da função afim é y = ax + b. Vamos olhar a reta r que passa pelos pontos A(0, 3), B(2, 7):

Vamos determinar a função afim cujo gráfico é exatamente essa reta r. Essa função afim tem a forma y = ax + b, e o fato de a reta passar pelo ponto A(0, 3) nos diz que, em x₁ = 0, a função tem valor y₁ = 3. Portanto, deve valer a equação a · 0 + b = 3. Como a reta passa pelo ponto B(2, 7), a função tem em x₂ = 2 o valor y₂ = 7, e deve valer ao mesmo tempo a equação a · 2 + b = 7. Estamos procurando os coeficientes a, b. Surge o sistema de equações:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Da primeira equação a · 0 + b = 3 obtemos facilmente o coeficiente b, que é igual a b = 3. Substituímos esse resultado na segunda equação, isto é, na equação a · 2 + b = 7 substituímos b pelo número três:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

E temos os dois coeficientes: a = 2, b = 3. A função que descreve a reta anterior tem a forma y = 2x + 3. Quando substituímos x = 1, obtemos y = 2 + 3 = 5, o que concorda com o gráfico da reta. A forma y = 2x + 3 ainda pode ser reescrita de modo que o lado direito seja zero, isto é, somamos à equação −(2x + 3). Assim obtemos a equação:

$$y-2x-3=0$$

Essa equação é chamada de equação geral da reta.

Definição da equação geral da reta

O procedimento anterior é um pouco trabalhoso e, além disso, não pode ser usado quando a reta é paralela ao eixo y, isto é, quando é vertical, pois uma reta assim não descreve nenhuma função. Por isso, introduzimos a equação geral da reta de outra maneira. Dizemos que toda equação do 1º grau com duas incógnitas na forma

$$ax+by+c=0,$$

em que a,b,c ∈ ℝ e pelo menos um dos números a,b é diferente de zero, é a equação de uma reta no plano. Além disso, toda reta no plano pode ser expressa nessa forma. Essa equação é chamada de equação geral da reta. Podemos obtê-la com facilidade a partir da forma paramétrica da reta. Se temos uma reta descrita pelas equações paramétricas

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

obtemos a equação geral eliminando das equações paramétricas o parâmetro t. Exemplo: vamos continuar com a reta anterior, dada pelos pontos A(0, 3), B(2, 7). Determinamos o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a partir do segmento orientado $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

Podemos olhar de novo a reta r com o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

Expressamos as equações paramétricas em relação ao ponto A e ao vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Para obter a equação geral, precisamos somar essas duas equações de modo a cancelar o parâmetro t. Primeiro multiplicamos a primeira equação por −2 e não mudamos a segunda:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

E agora somamos as duas equações, obtendo uma só equação:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Esta é a equação geral da reta r. Vemos que obtivemos exatamente a mesma equação do procedimento anterior.

Para que serve a equação geral da reta

A equação geral determina todos os pontos que formam a reta. Se na equação geral na forma ax + by + c = 0 substituímos as incógnitas x,y por números reais tais que a equação seja verdadeira, então (x, y) é um ponto dessa reta. Voltemos à reta anterior, descrita pela equação geral y − 2x − 3 = 0. Se substituímos x,y pelos valores x = 1, y = 5, obtemos a equação:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Isso significa que o ponto (1, 5) pertence à reta. Se tentamos substituir x = 2, y = 3, obtemos a equação:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

A equação não é verdadeira, e o ponto (2, 3) não pertence à reta r. Também podemos conferir isso na figura:

Reta vertical

Já mencionamos que a equação geral de uma reta vertical r não poderia ser obtida pelo procedimento descrito no primeiro capítulo, porque a reta vertical não descreve nenhuma função. Porém, mesmo uma reta assim tem a sua equação geral, que obtemos pelo procedimento apresentado no capítulo anterior.

Vamos mostrar isso com a reta que passa pelos pontos A(4, 2), B(4, 8). O vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tem a forma:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Figura:

A equação paramétrica em relação ao ponto A e ao vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ seria assim:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Agora deveríamos eliminar o parâmetro t. Porém, a primeira equação já nos poupou trabalho: nela não há parâmetro t (ou, melhor dizendo, ele sempre vale zero), e por isso podemos usar toda essa equação como equação geral da reta r. A reta r tem, então, a equação geral

$$x-4=0$$

Ou seja, os coeficientes a,b,c na equação ax + by + c = 0 valem a = 1, b = 0, c = −4.

Reta horizontal

Vamos mostrar ainda mais um exemplo, com uma reta horizontal que passa pelos pontos A(2, 1), B(5, 1). O vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ será igual a:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Figura:

A equação paramétrica da reta em relação ao ponto A seria assim:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

De novo vemos que não precisamos eliminar o parâmetro t, porque na segunda equação ele é nulo. Podemos, então, usar diretamente a segunda equação como equação geral da reta r:

$$y-1=0$$