Forma implicita dell’equazione della retta

L'equazione della retta in forma implicita si ottiene dalle equazioni parametriche della retta eliminando il parametro t.

Motivazione

Ti ricordi la funzione lineare? Il suo grafico è proprio una retta. La forma base della funzione lineare è y = ax + b. Guardiamo la retta r che passa per i punti A(0; 3), B(2; 7):

Determiniamo la funzione lineare che ha come grafico proprio questa retta r. Questa funzione lineare ha la forma y = ax + b; il fatto che la retta passi per il punto A(0; 3) ci dice che nel punto x₁ = 0 la funzione ha valore y₁ = 3. Deve quindi valere l'equazione a · 0 + b = 3. Poiché la retta passa per il punto B(2; 7), la funzione nel punto x₂ = 2 ha valore y₂ = 7 e deve valere contemporaneamente l'equazione a · 2 + b = 7. Cerchiamo i coefficienti a, b. Otteniamo un sistema di equazioni:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 0+b& =& 3\\ a\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

Dalla prima equazione a · 0 + b = 3 ricaviamo facilmente il coefficiente b, che è uguale a b = 3. Sostituiamo questo risultato nella seconda equazione, cioè nell'equazione a · 2 + b = 7 mettiamo il numero tre al posto di b:

$$\begin{array}{rcl}a\cdot 2+b& =& 7\\ a\cdot 2+3& =& 7\\ a\cdot 2& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$

Ed ecco i due coefficienti: a = 2, b = 3. La funzione che descrive la retta precedente ha la forma y = 2x + 3. Se al posto di x sostituiamo x = 1, otteniamo y = 2 + 3 = 5, che concorda con il grafico della retta. La forma y = 2x + 3 possiamo riscriverla in modo che il secondo membro sia zero, cioè aggiungiamo −(2x + 3) a entrambi i membri. Otteniamo così l'equazione:

$$y-2x-3=0$$

Questa equazione si chiama equazione della retta in forma implicita.

Definizione dell'equazione in forma implicita

Il procedimento precedente è un po' complicato e inoltre non si può usare quando la retta è parallela all'asse y, cioè quando è verticale, perché una retta del genere non descrive nessuna funzione. Perciò introduciamo l'equazione della retta in forma implicita anche in un altro modo. Diciamo che ogni equazione di primo grado della forma

$$ax+by+c=0,$$

dove a,b,c ∈ ℝ e almeno uno dei numeri a,b è diverso da zero, è l'equazione di una retta nel piano. Inoltre, ogni retta del piano può essere espressa in questa forma. Questa equazione si chiama equazione della retta in forma implicita. Possiamo ricavarla facilmente dalle equazioni parametriche della retta. Data una retta descritta dalle equazioni parametriche

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

ricaviamo l'equazione in forma implicita eliminando il parametro t dalle equazioni parametriche. Esempio: restiamo alla retta precedente, passante per i punti A(0; 3), B(2; 7). Troviamo il vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dal segmento orientato $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2)=B-A=(2;7)-(0;3)=(2;4)$$

Possiamo osservare di nuovo la retta r con il vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

Scriviamo le equazioni parametriche rispetto al punto A e al vettore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Per ottenere l'equazione in forma implicita dobbiamo sommare queste due equazioni in modo da eliminare il parametro t. Per prima cosa moltiplichiamo la prima equazione per −2 e lasciamo invariata la seconda:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Ora sommiamo le due equazioni e otteniamo un'unica equazione:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Questa è l'equazione in forma implicita della retta r. Vediamo che abbiamo ottenuto esattamente la stessa equazione ottenuta con il procedimento precedente.

A cosa serve l'equazione in forma implicita

L'equazione in forma implicita determina tutti i punti che formano la retta. Se nell'equazione della forma ax + by + c = 0 sostituiamo alle incognite x,y dei numeri reali tali che l'equazione sia verificata, allora (x; y) è un punto di questa retta. Torniamo alla retta precedente, descritta dall'equazione in forma implicita y − 2x − 3 = 0. Se al posto di x,y sostituiamo i valori x = 1, y = 5, otteniamo l'equazione:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Questo significa che il punto (1; 5) appartiene alla retta. Se proviamo a sostituire x = 2, y = 3, otteniamo l'equazione:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

L'equazione non è verificata, il punto (2; 3) non appartiene alla retta r. Possiamo controllarlo anche nella figura:

Retta verticale

Abbiamo già accennato che l'equazione di una retta verticale r non si potrebbe ottenere con il procedimento descritto nel primo paragrafo, perché una retta verticale non descrive nessuna funzione. Tuttavia anche una retta del genere ha la sua equazione in forma implicita, che otteniamo con il procedimento del paragrafo precedente.

Lo mostriamo sulla retta che passa per i punti A(4; 2), B(4; 8). Il vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ha la forma:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2)=B-A=(4;8)-(4;2)=(0;6)$$

Figura:

Le equazioni parametriche rispetto al punto A e al vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sarebbero queste:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Ora dovremmo eliminare il parametro t. Però la prima equazione ci ha già risparmiato il lavoro: nella prima equazione non c'è nessun parametro t, ovvero è sempre moltiplicato per zero, quindi possiamo usare l'intera equazione come equazione in forma implicita della retta r. La retta r ha così l'equazione in forma implicita

$$x-4=0$$

Quindi i coefficienti a,b,c dell'equazione ax + by + c = 0 sono a = 1, b = 0, c = −4.

Retta orizzontale

Vediamo ancora un esempio, con una retta orizzontale che passa per i punti A(2; 1), B(5; 1). Il vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sarà uguale a:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2)=B-A=(5;1)-(2;1)=(3;0)$$

Figura:

Le equazioni parametriche della retta rispetto al punto A sarebbero queste:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Anche qui vediamo che non dobbiamo eliminare il parametro t, perché nella seconda equazione è moltiplicato per zero. Possiamo quindi usare direttamente la seconda equazione come equazione in forma implicita della retta r:

$$y-1=0$$