Общо уравнение на права

Общото уравнение на права получаваме от параметричното уравнение на права, като премахнем параметъра t.

Мотивация

Спомняш ли си линейната функция? Графиката ѝ е права. Основният вид на линейната функция е y = kx + b. Нека разгледаме правата p, която минава през точките A(0; 3), B(2; 7):

Ще определим линейната функция, чиято графика е точно тази права p. Тази линейна функция има вида y = kx + b, като фактът, че правата минава през точката A(0; 3), ни казва, че в точката x₁ = 0 функцията има стойност y₁ = 3. Следователно трябва да е изпълнено уравнението k · 0 + b = 3. Тъй като правата минава през точката B(2; 7), функцията в точката x₂ = 2 има стойност y₂ = 7 и трябва да е изпълнено също и уравнението k · 2 + b = 7. Ние търсим коефициентите k, b. Получава се система уравнения:

$$\begin{array}{rcl}k\cdot 0+b& =& 3\\ k\cdot 2+b& =& 7\end{array}$$

От първото уравнение k · 0 + b = 3 лесно получаваме коефициента b, който е равен на b = 3. Този резултат заместваме във второто уравнение, т.е. в уравнението k · 2 + b = 7 заместваме b с числото три:

$$\begin{array}{rcl}k\cdot 2+b& =& 7\\ k\cdot 2+3& =& 7\\ k\cdot 2& =& 4\\ k& =& 2\end{array}$$

И така имаме и двата коефициента: k = 2, b = 3. Функцията, която описва предишната права, има вида y = 2x + 3. Когато заместим x с x = 1, получаваме y = 2 + 3 = 5, което съвпада с графиката на правата. Уравнението y = 2x + 3 можем да преобразуваме така, че от дясната страна да има нула, т.е. прибавяме към уравнението −(2x + 3). Така получаваме уравнението:

$$y-2x-3=0$$

Това уравнение се нарича общо уравнение на права.

Определение на общото уравнение на права

Предишният начин е малко сложен и освен това не е приложим, когато правата е успоредна на оста y, т.е. когато е вертикална, защото такава права не е графика на никаква функция. Затова въвеждаме общото уравнение на права по друг начин. Казваме, че всяко линейно уравнение от вида

$$ax+by+c=0,$$

където a,b,c ∈ ℝ и поне едно от числата a,b ≠ 0, е уравнение на права в равнината. При това всяка права в равнината може да се изрази в този вид. Това уравнение наричаме общо уравнение на права. Можем лесно да го получим от параметричния вид на правата. Ако правата е описана с параметричното уравнение

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

общото уравнение получаваме, като премахнем параметъра t от параметричното уравнение. Пример: нека се придържаме към предишната права, зададена с точките A(0; 3), B(2; 7). Намираме насочващия вектор $\overrightarrow{u}$ от насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A=(2;7)-(0;3)=(2;4)$$

Можем отново да разгледаме правата p с насочващия вектор $\overrightarrow{u}$:

Изразяваме параметричното уравнение спрямо точката A и вектора $\overrightarrow{u}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

За да получим общото уравнение, трябва да съберем тези две уравнения така, че параметърът t да се съкрати. Затова първо умножаваме първото уравнение по −2, а второто не променяме:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

А сега събираме двете уравнения и така получаваме едно уравнение:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Това е търсеното общо уравнение на правата p. Виждаме, че получихме съвсем същото уравнение като при предишния начин.

За какво служи общото уравнение на права

Общото уравнение определя всички точки, които образуват правата. Ако в общото уравнение от вида ax + by + c = 0 заместим неизвестните x,y с такива реални числа, че уравнението да е изпълнено, то (x; y) е точка от тази права. Да се върнем към предишната права, описана с общото уравнение y − 2x − 3 = 0. Ако заместим x,y със стойностите x = 1, y = 5, получаваме уравнението:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Това означава, че точката (1; 5) лежи на правата. Ако опитаме да заместим x = 2, y = 3, получаваме уравнението:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Уравнението не е изпълнено, точката (2; 3) не лежи на правата p. Можем да проверим това и на чертежа:

Вертикална права

Вече споменахме, че общото уравнение на вертикална права p не бихме могли да получим по начина, описан в първия раздел, защото вертикалната права не е графика на никаква функция. Въпреки това и такава права има свое общо уравнение, което получаваме по начина, описан в предишния раздел.

Ще го покажем на права, която минава през точките A(4; 2), B(4; 8). Насочващият вектор $\overrightarrow{u}$ има вида:

$$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A=(4;8)-(4;2)=(0;6)$$

Чертеж:

Параметричното уравнение спрямо точката A и насочващия вектор $\overrightarrow{u}$ би изглеждало така:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Сега трябва да премахнем параметъра t. Първото уравнение обаче ни спестява работа – в него няма параметър t, или по-точно, той винаги е нулев, така че можем да използваме цялото това уравнение като общо уравнение на правата p. Правата p има общо уравнение

$$x-4=0$$

Следователно коефициентите a,b,c в уравнението ax + by + c = 0 са равни на a = 1, b = 0, c = −4.

Хоризонтална права

Ще покажем и още един пример, с хоризонтална права, която минава през точките A(2; 1), B(5; 1). Насочващият вектор $\overrightarrow{u}$ ще бъде равен на:

$$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A=(5;1)-(2;1)=(3;0)$$

Чертеж:

Параметричното уравнение на правата спрямо точката A би изглеждало така:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Отново виждаме, че не е нужно да елиминираме параметъра t, защото във второто уравнение той е нулев. Можем да използваме направо второто уравнение като общо уравнение на правата p:

$$y-1=0$$