Ecuația generală a dreptei

Ecuația generală a dreptei o obținem din ecuațiile parametrice ale dreptei eliminând parametrul t.

Motivație

Îți amintești de funcția de gradul întâi? Graficul ei este tocmai o dreaptă. Forma de bază a funcției de gradul întâi este y = mx + n. Să ne uităm la dreapta p care trece prin punctele A(0, 3), B(2, 7):

Determinăm funcția de gradul întâi al cărei grafic este tocmai această dreaptă p. Funcția are forma y = mx + n, iar faptul că dreapta trece prin punctul A(0, 3) ne spune că în punctul x₁ = 0 funcția are valoarea y₁ = 3. Trebuie deci să avem egalitatea m · 0 + n = 3. Deoarece dreapta trece prin punctul B(2, 7), funcția are în punctul x₂ = 2 valoarea y₂ = 7, deci trebuie să avem totodată m · 2 + n = 7. Căutăm coeficienții m, n. Obținem sistemul de ecuații:

$$\begin{array}{rcl}m\cdot 0+n& =& 3\\ m\cdot 2+n& =& 7\end{array}$$

Din prima ecuație m · 0 + n = 3 obținem ușor coeficientul n, care este egal cu n = 3. Acest rezultat îl înlocuim în a doua ecuație, adică în m · 2 + n = 7 înlocuim pe n cu trei:

$$\begin{array}{rcl}m\cdot 2+n& =& 7\\ m\cdot 2+3& =& 7\\ m\cdot 2& =& 4\\ m& =& 2\end{array}$$

Și avem ambii coeficienți: m = 2, n = 3. Funcția care descrie dreapta precedentă are forma y = 2x + 3. Dacă înlocuim x = 1, obținem y = 2 + 3 = 5, ceea ce se potrivește cu graficul dreptei. Forma y = 2x + 3 o putem rescrie astfel încât în membrul drept să fie zero, adică adunăm la ambii membri −(2x + 3). Obținem astfel ecuația:

$$y-2x-3=0$$

Această ecuație se numește ecuația generală a dreptei.

Definiția ecuației generale a dreptei

Procedeul precedent este oarecum complicat și, în plus, nu poate fi folosit atunci când dreapta este paralelă cu axa Oy, adică verticală, deoarece o astfel de dreaptă nu descrie nicio funcție. De aceea introducem ecuația generală a dreptei și în alt mod. Spunem că orice ecuație de gradul întâi de forma

$$ax+by+c=0,$$

unde a,b,c ∈ ℝ și cel puțin unul dintre numerele a,b este nenul, este ecuația unei drepte în plan. Totodată, orice dreaptă din plan poate fi exprimată sub această formă. Această ecuație o numim ecuația generală a dreptei. O putem afla simplu din forma parametrică a dreptei. Dacă dreapta este descrisă de ecuațiile parametrice

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\end{array}$$

aflăm ecuația generală eliminând parametrul t din ecuațiile parametrice. Exemplu: rămânem la dreapta precedentă, dată de punctele A(0, 3), B(2, 7). Aflăm vectorul director $\overrightarrow{u}$ din segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{u}(u_1,u_2)=B-A=(2,7)-(0,3)=(2,4)$$

Putem privi din nou dreapta p cu vectorul director $\overrightarrow{u}$:

Scriem ecuațiile parametrice față de punctul A și vectorul $\overrightarrow{u}$:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 0+t\cdot 2\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Pentru a obține ecuația generală, trebuie să adunăm aceste două ecuații astfel încât să se reducă parametrul t. Mai întâi înmulțim prima ecuație cu −2, iar pe a doua o lăsăm neschimbată:

$$\begin{array}{rcl}-2x& =& 0-t\cdot 4\\ y& =& 3+t\cdot 4\end{array}$$

Și acum adunăm cele două ecuații, obținând o singură ecuație:

$$\begin{array}{rcl}y-2x& =& 3+t\cdot 4-t\cdot 4\\ y-2x& =& 3\\ y-2x-3& =& 0\end{array}$$

Aceasta este ecuația generală a dreptei p. Vedem că am obținut exact aceeași ecuație ca prin procedeul precedent.

La ce folosește ecuația generală a dreptei

Ecuația generală ne determină toate punctele care formează dreapta. Dacă în ecuația de forma ax + by + c = 0 înlocuim necunoscutele x,y cu astfel de numere reale încât ecuația să fie adevărată, atunci (x,y) este un punct al acestei drepte. Să revenim la dreapta precedentă, descrisă de ecuația generală y − 2x − 3 = 0. Dacă înlocuim x = 1, y = 5, obținem egalitatea:

$$\begin{array}{rcl}5-2\cdot 1-3& =& 0\\ 5-2-3& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Aceasta înseamnă că punctul (1, 5) se află pe dreaptă. Dacă încercăm să înlocuim x = 2, y = 3, obținem egalitatea:

$$\begin{array}{rcl}3-2\cdot 2-3& {=}^{?}& 0\\ 3-4-3& {=}^{?}& 0\\ -4& \ne & 0\end{array}$$

Egalitatea nu este adevărată, punctul (2, 3) nu se află pe dreapta p. Putem verifica și pe figură:

Dreapta verticală

Am menționat deja că ecuația generală a unei drepte verticale p nu ar putea fi obținută prin procedeul descris în primul capitol, deoarece dreapta verticală nu descrie nicio funcție. Totuși, și o astfel de dreaptă are ecuația ei generală, pe care o obținem prin procedeul din capitolul precedent.

Vom arăta aceasta pe dreapta care trece prin punctele A(4, 2), B(4, 8). Vectorul director $\overrightarrow{u}$ are forma:

$$\overrightarrow{u}(u_1,u_2)=B-A=(4,8)-(4,2)=(0,6)$$

Figura:

Ecuațiile parametrice față de punctul A și vectorul director $\overrightarrow{u}$ ar arăta astfel:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 4+t\cdot 0\\ y& =& 2+t\cdot 6\end{array}$$

Acum ar trebui să eliminăm parametrul t. Totuși, prima ecuație ne-a scutit deja de muncă: în prima ecuație nu există niciun parametru t, mai exact, el este înmulțit cu zero, deci putem folosi întreaga ecuație ca ecuație generală a dreptei p. Dreapta p are deci ecuația generală

$$x-4=0$$

Adică coeficienții a,b,c din ecuația ax + by + c = 0 sunt a = 1, b = 0, c = −4.

Dreapta orizontală

Mai arătăm un exemplu, cu o dreaptă orizontală care trece prin punctele A(2, 1), B(5, 1). Vectorul director $\overrightarrow{u}$ va fi egal cu:

$$\overrightarrow{u}(u_1,u_2)=B-A=(5,1)-(2,1)=(3,0)$$

Figura:

Ecuațiile parametrice ale dreptei față de punctul A ar arăta astfel:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 3\\ y& =& 1+t\cdot 0\end{array}$$

Vedem din nou că nu trebuie să eliminăm parametrul t, deoarece în a doua ecuație el este înmulțit cu zero. Putem folosi deci direct a doua ecuație ca ecuație generală a dreptei p:

$$y-1=0$$