Geometrik Ortalama

Yeni bir araba, mesela bir Ford Mustang almak istediğini düşün. Uzun zamandır gözün onda ve her yıl bir önceki yıla göre ne kadar zamlandığını not ediyorsun. İlk yıl araba bir milyon liraydı, hemen ikinci yıl %25, ertesi yıl %5, dördüncü yıl %10 ve şimdi, beşinci yıl, %20 zamlandı. Arabanın şu anda ne kadar olduğunu şöyle hesaplayabiliriz: yüzdeleri fiyatın katlarına çeviririz, yani “%25 zam”ı “eski fiyat çarpı 1,25” diye yazarız. Ford Mustang’in güncel fiyatı şöyle olur:

$$1000000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=1732500$$

Mustang’in beş yıl sonraki fiyatı 1.732.500 TL. Şimdi şunu sorabiliriz: arabanın ortalama yıllık zammı ne kadardı? İlk yıl araba 1,25 katına çıktı, ikinci yıl 1,05 katına vb. Ortalama zam ne kadardı? Sıradan aritmetik ortalamayı kullanırsak saçma bir sonuç çıkar. 1,25, 1,05, 1,1 ve 1,2 değerlerinin aritmetik ortalaması şöyle çıkardı:

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Şimdi bir de arabanın fiyatı dört yıl üst üste 1,15 katına çıksaydı fiyatın ne olacağını hesaplamayı deneyelim:

$$1000000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=1749006,25$$

Farklı bir sayı çıktı! Demek ki 1,15 (yani %15) doğru cevap değil, doğru ortalama yıllık zam bu değil. Aritmetik ortalama bu soruyu cevaplayamıyor. Geometrik ortalamayı kullanmamız gerek.

Geometrik ortalama nasıl hesaplanır

Araba bu beş yılda yüzde kaç zamlandı? Bunu bütün zam katlarını çarparak hesaplarız:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Yani Ford Mustang dört yılın sonunda 1,7325 katına çıktı. Şimdi aslında şunu soruyoruz: dört kez çarptığımızda bize 1,7325 veren sayı hangisi? Bu, 1,7325 sayısının dördüncü kökü. Deneyelim:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Şimdi arabanın fiyatını bu sayıyla dört kez çarpmayı deneyelim:

$$1000000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=1732500$$

Şimdi tuttu; demek ki $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ sayısı arabanın doğru ortalama yıllık zammıdır.

Geometrik ortalama formülü

n tane x₁, x₂, …, x_n sayısı verilmişse, geometrik ortalama G’yi şöyle hesaplarız:

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Aynı şeyi eşdeğer olarak şöyle de yazabiliriz:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Örnek olarak 1, 2, 3, 4, 5 sayılarının geometrik ortalamasını şöyle hesaplarız:

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$