Meetkundig gemiddelde

Stel je voor dat je een nieuwe auto wilt kopen, bijvoorbeeld een Ford Mustang. Je hebt hem al lang op het oog en elk jaar schrijf je op hoeveel duurder hij is geworden ten opzichte van het jaar ervoor. Het eerste jaar kostte de auto € 40 000, het tweede jaar werd hij 25% duurder, het jaar daarna 5%, het vierde jaar 10% en nu, in het vijfde jaar, 20%. We kunnen uitrekenen wat de auto nu kost door de procenten om te zetten in vermenigvuldigingsfactoren, dus “25% duurder” schrijven we op als “oude prijs maal 1,25”. De huidige prijs van de Ford Mustang is dus

$$40000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=69300$$

De prijs van de Mustang na vijf jaar is € 69 300. En nu kunnen we ons afvragen wat de gemiddelde jaarlijkse prijsstijging van de auto was. Het eerste jaar werd de auto 1,25 keer zo duur, het tweede jaar 1,05 keer enzovoort. Wat was de gemiddelde prijsstijging? Als we het gewone rekenkundig gemiddelde zouden gebruiken, krijgen we onzin. Het rekenkundig gemiddelde van de waarden 1,25, 1,05, 1,1 en 1,2 zou zijn

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Laten we eens uitrekenen wat de auto zou kosten als de prijs vier jaar achter elkaar met 1,15 zou worden vermenigvuldigd:

$$40000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=69960,25$$

Er komt een ander getal uit! Dat betekent dat 1,15 (dus 15%) niet het goede antwoord is, dit is niet de juiste gemiddelde jaarlijkse prijsstijging. Het rekenkundig gemiddelde kan deze vraag dus niet beantwoorden. We moeten het meetkundig gemiddelde gebruiken.

Het meetkundig gemiddelde berekenen

Hoeveel procent is de auto in die vijf jaar duurder geworden? Dat rekenen we uit door alle vermenigvuldigingsfactoren van de prijsstijgingen met elkaar te vermenigvuldigen:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Na vier prijsstijgingen is de Ford Mustang dus 1,7325 keer zo duur geworden. En nu vragen we ons eigenlijk af: welk getal geeft 1,7325 als we het vier keer met zichzelf vermenigvuldigen? Dat is de vierdemachtswortel (zie wortels) van het getal 1,7325. Laten we het proberen:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Laten we nu de prijs van de auto vier keer met dit getal vermenigvuldigen:

$$40000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=69300$$

Nu klopt het: het getal $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ is dus de juiste gemiddelde jaarlijkse prijsstijging van de auto.

Formule voor het meetkundig gemiddelde

Als we n getallen x₁, x₂, …, x_n hebben, berekenen we het meetkundig gemiddelde G als

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Of, wat op hetzelfde neerkomt:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Het meetkundig gemiddelde van de getallen 1, 2, 3, 4, 5 berekenen we bijvoorbeeld als

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$