Mértani közép

Képzeld el, hogy új autót szeretnél venni, mondjuk egy Ford Mustangot. Régóta fáj rá a fogad, és minden évben felírod, mennyit drágult az előző évhez képest. Míg az első évben az autó tizenötmillió forintba került, már a második évben 25%-kal drágult, a következő évben 5%-kal, a negyedik évben 10%-kal, és most, az ötödik évben 20%-kal. Kiszámíthatjuk, mennyibe kerül most az autó, ha a százalékokat az ár többszöröseire váltjuk át, vagyis a „25%-os drágulást” úgy írjuk fel, hogy „az eredeti ár szorozva 1,25-del”. A Ford Mustang jelenlegi ára tehát

$$15000000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=25987500$$

A Mustang ára öt év után 25 987 500 forint. És most feltehetnénk a kérdést: mekkora volt az autó átlagos éves drágulása? Az első évben az autó 1,25-szörösére drágult, a második évben 1,05-szörösére és így tovább. Mekkora volt az átlagos drágulás? Ha a szokásos számtani közepet használnánk, képtelen eredményt kapnánk. Az 1,25, 1,05, 1,1 és 1,2 értékek számtani közepe

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

lenne. Próbaképpen számoljuk ki most az autó árát, ha négy éven át egymás után 1,15-szörösére emelkedett volna az ára:

$$15000000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=26235093,75$$

Másik szám jött ki! Ez azt jelenti, hogy az 1,15 (vagyis 15%) nem a helyes válasz, ez nem a helyes átlagos éves drágulás. A számtani közép tehát nem tudja megválaszolni ezt a kérdést. A mértani közepet kell használnunk.

Hogyan számoljuk ki a mértani közepet

Hány százalékkal drágult az autó ez alatt az öt év alatt? Úgy számoljuk ki, hogy összeszorozzuk az összes drágulási szorzót:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

A Ford Mustang tehát négy év után 1,7325-szeresére drágult. És most tulajdonképpen azt kérdezzük: melyik az a szám, amelyet négyszer önmagával összeszorozva 1,7325-öt kapunk? Ez az 1,7325 negyedik gyöke. Próbáljuk ki:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Próbáljuk most meg az autó árát négyszer megszorozni ezzel a számmal:

$$15000000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=25987500$$

Most már stimmel, a $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ szám tehát az autó helyes átlagos éves drágulása.

A mértani közép képlete

Ha van n számunk, x₁, x₂, …, x_n, akkor a G mértani közepet így számoljuk ki:

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Vagy ugyanezt ekvivalensen így is felírhatjuk:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Például az 1, 2, 3, 4, 5 számok mértani közepét így számolnánk ki:

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$