Γεωμετρικός μέσος

Φαντάσου ότι θέλεις να αγοράσεις ένα καινούργιο αυτοκίνητο, ένα Ford Mustang. Το κοιτάς από καιρό και κάθε χρόνο σημειώνεις πόσο ακρίβυνε σε σχέση με την προηγούμενη χρονιά. Ενώ την πρώτη χρονιά το αυτοκίνητο κόστιζε 40.000 €, ήδη τη δεύτερη χρονιά ακρίβυνε κατά 25%, την επόμενη χρονιά ακρίβυνε κατά 5%, την τέταρτη χρονιά ακρίβυνε κατά 10% και τώρα, την πέμπτη χρονιά, ακρίβυνε κατά 20%. Μπορούμε να υπολογίσουμε πόσο κοστίζει το αυτοκίνητο σήμερα μετατρέποντας τα ποσοστά σε πολλαπλάσια της τιμής, δηλαδή την «ανατίμηση κατά 25%» τη γράφουμε ως «αρχική τιμή επί 1,25». Η τρέχουσα τιμή του Ford Mustang είναι λοιπόν

$$40000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=69300$$

Η τιμή του Mustang μετά από πέντε χρόνια είναι 69300 €. Και τώρα θα μπορούσαμε να ρωτήσουμε ποια ήταν η μέση ετήσια ανατίμηση του αυτοκινήτου; Την πρώτη χρονιά το αυτοκίνητο ακρίβυνε 1,25 φορές, τη δεύτερη χρονιά 1,05 φορές κ.ο.κ. Ποια ήταν η μέση ανατίμηση; Αν χρησιμοποιούσαμε τον συνηθισμένο αριθμητικό μέσο, θα έβγαινε ανοησία. Ο αριθμητικός μέσος των τιμών 1,25, 1,05, 1,1 και 1,2 θα έβγαινε

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Ας δοκιμάσουμε τώρα να υπολογίσουμε την τιμή του αυτοκινήτου, αν για τέσσερα χρόνια στη σειρά η τιμή του αυξανόταν 1,15 φορές:

$$40000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=69960,25$$

Βγήκε διαφορετικός αριθμός! Αυτό σημαίνει ότι το 1,15 (δηλαδή 15%) δεν είναι η σωστή απάντηση, αυτή δεν είναι η σωστή μέση ετήσια ανατίμηση. Ο αριθμητικός μέσος δεν μπορεί λοιπόν να απαντήσει σε αυτό το ερώτημα. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε γεωμετρικό μέσο.

Πώς υπολογίζεται ο γεωμετρικός μέσος

Κατά πόσο τοις εκατό ακρίβυνε το αυτοκίνητο μέσα σε αυτά τα πέντε χρόνια; Το υπολογίζουμε πολλαπλασιάζοντας όλα τα πολλαπλάσια της ανατίμησης:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Το Ford Mustang ακρίβυνε λοιπόν μετά από τέσσερα χρόνια 1,7325 φορές. Και τώρα στην ουσία ρωτάμε: ποιος αριθμός, όταν τον πολλαπλασιάσουμε τέσσερις φορές, μας δίνει 1,7325; Είναι η τέταρτη ρίζα του αριθμού 1,7325. Ας το δοκιμάσουμε:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Ας δοκιμάσουμε τώρα να πολλαπλασιάσουμε την τιμή του αυτοκινήτου τέσσερις φορές με αυτόν τον αριθμό:

$$40000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=69300$$

Τώρα βγαίνει σωστά, ο αριθμός $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ είναι λοιπόν η σωστή μέση ετήσια ανατίμηση του αυτοκινήτου.

Τύπος για τον γεωμετρικό μέσο

Αν έχουμε n αριθμούς x₁, x₂, …, x_n, τον γεωμετρικό μέσο G τον υπολογίζουμε ως

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Ή μπορούμε να το γράψουμε ισοδύναμα ως εξής:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Για παράδειγμα, τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 1, 2, 3, 4, 5 θα τον υπολογίζαμε ως

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$