Media geométrica

Imagina que quieres comprarte un coche nuevo, un Ford Mustang. Llevas mucho tiempo echándole el ojo y cada año anotas cuánto ha subido de precio respecto al año anterior. El primer año el coche costaba 40.000 €, el segundo año subió un 25 %, al año siguiente subió un 5 %, el cuarto año subió un 10 % y ahora, el quinto año, ha subido un 20 %. Podemos calcular cuánto cuesta el coche en la actualidad convirtiendo los porcentajes en multiplicadores del precio, es decir, «una subida del 25 %» la escribimos como «precio anterior por 1,25». El precio actual del Ford Mustang es, por tanto,

$$40000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=69300$$

El precio del Mustang tras cinco años es de 69 300 €. Y ahora podríamos preguntarnos ¿cuál fue la subida anual media del precio del coche? El primer año el coche se encareció 1,25 veces, el segundo año 1,05 veces, etc. ¿Cuál fue la subida media? Si usáramos la media aritmética corriente, nos saldría un disparate. La media aritmética de los valores 1,25, 1,05, 1,1 y 1,2 sería

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Probemos ahora a calcular el precio del coche si durante cuatro años seguidos su precio se multiplicara por 1,15:

$$40000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=69960,25$$

¡Nos ha salido otro número! Eso significa que 1,15 (es decir, un 15 %) no es la respuesta correcta, esta no es la subida anual media correcta. La media aritmética no es capaz, pues, de responder a esta pregunta. Tenemos que usar la media geométrica.

Cómo calcular la media geométrica

¿En qué porcentaje se encareció el coche en estos cinco años? Lo calculamos multiplicando todos los multiplicadores de la subida:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

El Ford Mustang se encareció, pues, 1,7325 veces tras cuatro años. Y ahora en realidad nos preguntamos: ¿qué número, multiplicado cuatro veces, nos da 1,7325? Es la raíz cuarta del número 1,7325. Probémoslo:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Probemos ahora a multiplicar el precio del coche cuatro veces por este número:

$$40000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=69300$$

Ahora sí cuadra: el número $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ es, por tanto, la subida anual media correcta del precio del coche.

Fórmula de la media geométrica

Si tenemos n números x₁, x₂, …, x_n, la media geométrica G se calcula como

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

O, de forma equivalente, podemos escribirlo así:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Como ejemplo, la media geométrica de los números 1, 2, 3, 4, 5 la calcularíamos como

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$