Moyenne géométrique

Imagine que tu veux acheter une voiture neuve, par exemple une Ford Mustang. Tu la guettes depuis longtemps et, chaque année, tu notes de combien elle a augmenté par rapport à l’année précédente. La première année, la voiture coûtait 40 000 € ; dès la deuxième année, son prix a augmenté de 25 %, l’année suivante de 5 %, la quatrième année de 10 % et, maintenant, la cinquième année, de 20 %. On peut calculer le prix actuel de la voiture en transformant les pourcentages en coefficients multiplicateurs : une « hausse de 25 % » s’écrit « prix initial fois 1,25 ». Le prix actuel de la Ford Mustang est donc

$$40000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=69300$$

Après cinq ans, la Mustang coûte 69 300 €. Et maintenant, on pourrait se demander quelle a été la hausse annuelle moyenne du prix de la voiture ? La première année, le prix a été multiplié par 1,25, la deuxième année par 1,05, etc. Quelle a été la hausse moyenne ? Si on utilisait la moyenne arithmétique habituelle, on obtiendrait un résultat absurde. La moyenne arithmétique des valeurs 1,25, 1,05, 1,1 et 1,2 vaudrait

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Essayons maintenant, pour voir, de calculer le prix de la voiture si son prix était multiplié par 1,15 quatre années de suite :

$$40000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=69960,25$$

On obtient un autre nombre ! Cela signifie que 1,15 (c’est-à-dire 15 %) n’est pas la bonne réponse : ce n’est pas la bonne hausse annuelle moyenne. La moyenne arithmétique ne peut donc pas répondre à cette question. Il faut utiliser la moyenne géométrique.

Comment calculer la moyenne géométrique

De combien de pour cent la voiture a-t-elle augmenté en ces cinq ans ? On le calcule en multipliant tous les coefficients de hausse :

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Au bout de quatre ans, le prix de la Ford Mustang a donc été multiplié par 1,7325. Et maintenant, on se demande en fait : quel nombre, multiplié quatre fois par lui-même, donne 1,7325 ? C’est la racine quatrième de 1,7325. Essayons :

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Multiplions maintenant le prix de la voiture quatre fois par ce nombre :

$$40000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=69300$$

Cette fois, ça marche : le nombre $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ est donc la bonne hausse annuelle moyenne du prix de la voiture.

Formule de la moyenne géométrique

Si on a n nombres x₁, x₂, …, x_n, on calcule leur moyenne géométrique G ainsi :

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

On peut aussi l’écrire de manière équivalente :

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Par exemple, la moyenne géométrique des nombres 1, 2, 3, 4, 5 se calcule ainsi :

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$