Geometrisk gjennomsnitt

Tenk deg at du vil kjøpe en ny bil, for eksempel en Ford Mustang. Du har lenge hatt øye på den, og hvert år skriver du ned hvor mye dyrere den har blitt sammenlignet med året før. Det første året kostet bilen én million kroner, allerede det andre året ble den 25 % dyrere, neste år ble den 5 % dyrere, det fjerde året ble den 10 % dyrere og nå, det femte året, ble den 20 % dyrere. Vi kan regne ut hva bilen koster i dag ved å gjøre prosentene om til vekstfaktorer, altså «25 % dyrere» skriver vi som «opprinnelig pris ganger 1,25». Dagens pris på Ford Mustang er derfor

$$1000000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=1732500$$

Prisen på Mustangen etter fem år er 1 732 500. Og nå kan vi spørre hva som var den gjennomsnittlige årlige prisveksten på bilen? Det første året ble bilen 1,25 ganger dyrere, det andre året 1,05 ganger og så videre. Hva var den gjennomsnittlige prisveksten? Hvis vi brukte det vanlige aritmetiske gjennomsnittet, ville vi fått noe tull. Det aritmetiske gjennomsnittet av verdiene 1,25, 1,05, 1,1 og 1,2 ville blitt

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

La oss prøve å regne ut prisen på bilen hvis prisen hadde økt 1,15 ganger fire år på rad:

$$1000000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=1749006,25$$

Vi fikk et annet tall! Det betyr at 1,15 (altså 15 %) ikke er det riktige svaret, dette er ikke den riktige gjennomsnittlige årlige prisveksten. Det aritmetiske gjennomsnittet kan altså ikke svare på dette spørsmålet. Vi må bruke det geometriske gjennomsnittet.

Slik regner du ut det geometriske gjennomsnittet

Hvor mange prosent dyrere ble bilen i løpet av disse fem årene? Det regner vi ut ved å gange sammen alle vekstfaktorene:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Ford Mustang ble altså 1,7325 ganger dyrere etter fire år. Og nå spør vi egentlig: hvilket tall gir 1,7325 når vi ganger det med seg selv fire ganger? Det er fjerderoten av tallet 1,7325. La oss prøve:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

La oss nå gange prisen på bilen med dette tallet fire ganger:

$$1000000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=1732500$$

Nå stemmer det, tallet $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ er altså den riktige gjennomsnittlige årlige prisveksten på bilen.

Formelen for det geometriske gjennomsnittet

Hvis vi har n tall x₁, x₂, …, x_n, regner vi ut det geometriske gjennomsnittet G som

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Eller vi kan skrive det ekvivalent slik:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Som eksempel regner vi ut det geometriske gjennomsnittet av tallene 1, 2, 3, 4, 5 som

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$