Media geometrica

Immagina di voler comprare un’auto nuova, una Ford Mustang. È da tanto che la guardi con desiderio e ogni anno annoti di quanto è aumentato il prezzo rispetto all’anno precedente. Il primo anno l’auto costava 40.000 €, già il secondo anno è rincarata del 25%, l’anno dopo del 5%, il quarto anno del 10% e adesso, il quinto anno, del 20%. Possiamo calcolare quanto costa l’auto oggi trasformando le percentuali in moltiplicatori del prezzo, cioè «rincaro del 25%» lo scriviamo come «prezzo precedente per 1,25». Il prezzo attuale della Ford Mustang è quindi

$$40000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=69300$$

Il prezzo della Mustang dopo cinque anni è 69 300 €. E ora potremmo chiederci qual è stato il rincaro annuo medio dell’auto? Il primo anno il prezzo dell’auto è stato moltiplicato per 1,25, il secondo anno per 1,05 e così via. Qual è stato il rincaro medio? Se usassimo la normale media aritmetica, otterremmo un risultato insensato. La media aritmetica dei valori 1,25, 1,05, 1,1 e 1,2 sarebbe

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Proviamo ora a calcolare il prezzo dell’auto se per quattro anni di seguito il suo prezzo fosse moltiplicato per 1,15:

$$40000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=69960,25$$

Abbiamo ottenuto un numero diverso! Questo significa che 1,15 (cioè il 15%) non è la risposta giusta, non è il rincaro annuo medio corretto. La media aritmetica non è dunque in grado di rispondere a questa domanda. Dobbiamo usare la media geometrica.

Come calcolare la media geometrica

Di quale percentuale è aumentato il prezzo dell’auto in questi cinque anni? Lo calcoliamo moltiplicando tutti i moltiplicatori del rincaro:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Dopo quattro anni il prezzo della Ford Mustang è quindi 1,7325 volte quello iniziale. E ora in realtà ci chiediamo: quale numero, preso quattro volte come fattore, dà 1,7325? È la radice quarta del numero 1,7325. Proviamo:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Proviamo ora a moltiplicare il prezzo dell’auto quattro volte per questo numero:

$$40000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=69300$$

Adesso i conti tornano: il numero $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ è quindi il rincaro annuo medio corretto dell’auto.

Formula della media geometrica

Se abbiamo n numeri x₁, x₂, …, x_n, la media geometrica G si calcola come

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

In alternativa possiamo scriverla in modo equivalente così:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Per esempio, la media geometrica dei numeri 1, 2, 3, 4, 5 si calcola come

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$