Média geométrica

Imagine que você quer comprar um carro novo, um Ford Mustang. Faz tempo que você está de olho nele e, todo ano, anota quanto ele ficou mais caro em relação ao ano anterior. No primeiro ano o carro custava R$ 400.000; já no segundo ano ficou 25% mais caro, no ano seguinte subiu 5%, no quarto ano subiu 10% e agora, no quinto ano, subiu 20%. Podemos calcular quanto o carro custa atualmente convertendo as porcentagens em multiplicadores do preço, ou seja, escrevemos o “aumento de 25%” como “preço original vezes 1,25”. O preço atual do Ford Mustang é, portanto,

$$400000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=693000$$

O preço do Mustang depois de cinco anos é 693.000 reais. E agora poderíamos perguntar: qual foi o aumento médio anual do preço do carro? No primeiro ano o carro ficou 1,25 vez mais caro, no segundo 1,05 vez etc. Qual foi o aumento médio? Se usássemos a clássica média aritmética, chegaríamos a um absurdo. A média aritmética dos valores 1,25, 1,05, 1,1 e 1,2 seria

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Vamos, de propósito, calcular o preço do carro se, quatro anos seguidos, ele fosse multiplicado por 1,15:

$$400000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=699602,5$$

Deu um número diferente! Isso significa que 1,15 (ou seja, 15%) não é a resposta correta, esse não é o aumento médio anual correto. A média aritmética, portanto, não consegue responder a essa pergunta. Precisamos usar a média geométrica.

Como calcular a média geométrica

Em quantos por cento o carro ficou mais caro nesses cinco anos? Calculamos multiplicando todos os multiplicadores de aumento:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

O Ford Mustang, portanto, ficou depois de quatro aumentos 1,7325 vez mais caro. E agora, na verdade, perguntamos: qual número, multiplicado quatro vezes, nos dá 1,7325? É a raiz quarta do número 1,7325. Vamos testar:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Vamos agora multiplicar o preço do carro quatro vezes por esse número:

$$400000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=693000$$

Agora sim, bate: o número $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ é, portanto, o aumento médio anual correto do preço do carro.

Fórmula da média geométrica

Se temos n números x₁, x₂, …, x_n, calculamos a média geométrica G como

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Ou, equivalentemente, podemos escrever assim:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Como exemplo, calcularíamos a média geométrica dos números 1, 2, 3, 4, 5 assim:

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$