Средно геометрично

Представи си, че искаш да купиш нова кола, например Ford Mustang. Отдавна я гледаш и всяка година записваш с колко е поскъпнала спрямо предишната година. Първата година колата струва 50 000 евро, но още на втората година поскъпва с 25%, на следващата с 5%, на четвъртата с 10%, а сега, на петата година, поскъпва с 20%. Можем да изчислим колко струва колата в момента, като превърнем процентите в множители, т.е. „поскъпване с 25%“ записваме като „първоначалната цена по 1,25“. Сегашната цена на Ford Mustang е

$$50000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=86625$$

Цената на Mustang след пет години е 86 625 евро. И сега бихме могли да попитаме какво е средното годишно поскъпване на колата? Първата година колата е поскъпнала 1,25 пъти, втората година 1,05 пъти и т.н. Какво е средното поскъпване? Ако използваме обикновеното средно аритметично, ще получим безсмислица. Средното аритметично на стойностите 1,25, 1,05, 1,1 и 1,2 би било

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Нека сега опитаме да изчислим цената на колата, ако цената ѝ се увеличаваше четири години поред 1,15 пъти:

$$50000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=87\mathrm{450,312}5$$

Получихме различно число! Това означава, че 1,15 (т.е. 15%) не е верният отговор, това не е правилното средно годишно поскъпване. Средното аритметично не може да ни отговори на този въпрос. Трябва да използваме средно геометрично.

Как да изчислим средно геометрично

С колко процента е поскъпнала колата за тези пет години? Изчисляваме го, като умножим всички множители на поскъпването:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Ford Mustang е поскъпнал след четирите поскъпвания 1,7325 пъти. И сега всъщност питаме: кое число, ако го умножим четири пъти, ни дава 1,7325? Това е корен четвърти от числото 1,7325. Нека опитаме:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Нека сега умножим цената на колата четири пъти по това число:

$$50000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=86625$$

Сега вече съвпада — числото $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ е правилното средно годишно поскъпване на колата.

Формула за средно геометрично

Ако имаме n числа x₁, x₂, …, x_n, средното геометрично G изчисляваме като

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Или можем да го запишем еквивалентно така:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Например средното геометрично на числата 1, 2, 3, 4, 5 бихме изчислили като

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$