Geometriskt medelvärde

Tänk dig att du vill köpa en ny bil, en Ford Mustang. Du har tittat på den länge, och varje år skriver du upp hur mycket den har blivit dyrare jämfört med året innan. Första året kostade bilen 800 000 kronor, redan andra året blev den 25 % dyrare, nästa år 5 % dyrare, fjärde året 10 % dyrare och nu, femte året, 20 % dyrare. Vi kan beräkna vad bilen kostar i dag genom att omvandla procenten till förändringsfaktorer, alltså skriva ”en prishöjning på 25 %” som ”det ursprungliga priset gånger 1,25”. Det aktuella priset på en Ford Mustang är alltså

$$800000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=1386000$$

Priset på Mustangen efter fem år är 1 386 000 kr. Och nu kan vi fråga oss: hur stor var den genomsnittliga årliga prisökningen på bilen? Första året blev bilen 1,25 gånger dyrare, andra året 1,05 gånger och så vidare. Hur stor var den genomsnittliga prisökningen? Om vi använde det vanliga aritmetiska medelvärdet skulle vi få nonsens. Det aritmetiska medelvärdet av talen 1,25, 1,05, 1,1 och 1,2 skulle bli

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Låt oss för säkerhets skull prova att beräkna priset på bilen om priset fyra år i rad hade ökat 1,15 gånger:

$$800000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=1399205$$

Vi fick ett annat tal! Det betyder att 1,15 (alltså 15 %) inte är rätt svar, det här är inte den korrekta genomsnittliga årliga prisökningen. Det aritmetiska medelvärdet kan alltså inte besvara den här frågan. Vi måste använda det geometriska medelvärdet.

Så beräknar du det geometriska medelvärdet

Hur många procent dyrare blev bilen på de här fem åren? Det beräknar vi genom att multiplicera alla förändringsfaktorer:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Ford Mustang blev alltså efter fyra år 1,7325 gånger dyrare. Och nu frågar vi oss egentligen: vilket tal ger 1,7325 när vi multiplicerar fyra sådana tal med varandra? Det är fjärde roten ur talet 1,7325. Vi provar:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Låt oss nu multiplicera priset på bilen fyra gånger med det här talet:

$$800000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=1386000$$

Nu stämmer det, talet $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ är alltså den korrekta genomsnittliga årliga prisökningen på bilen.

Formel för det geometriska medelvärdet

Om vi har n tal x₁, x₂, …, x_n, beräknar vi det geometriska medelvärdet G som

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Eller så kan vi likvärdigt skriva det så här:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Som exempel skulle vi beräkna det geometriska medelvärdet av talen 1, 2, 3, 4, 5 som

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$