Media geometrică

Imaginează-ți că vrei să-ți cumperi o mașină nouă, un Ford Mustang. Te uiți de multă vreme după ea și în fiecare an notezi cu cât s-a scumpit față de anul precedent. În primul an mașina costa 200.000 de lei, apoi chiar în al doilea an s-a scumpit cu 25%, în anul următor s-a scumpit cu 5%, în al patrulea an s-a scumpit cu 10%, iar acum, în al cincilea an, s-a scumpit cu 20%. Putem calcula cât costă mașina în prezent transformând procentele în multipli ai prețului, adică „scumpire cu 25%” scriem „prețul inițial ori 1,25”. Prețul actual al Fordului Mustang este deci

$$200.000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=346.500$$

Prețul Mustangului după cinci ani este 346.500 de lei. Și acum ne-am putea întreba care a fost scumpirea anuală medie a mașinii? În primul an mașina s-a scumpit de 1,25 ori, în al doilea an de 1,05 ori și așa mai departe. Care a fost scumpirea medie? Dacă am folosi media aritmetică obișnuită, ne-ar ieși o aberație. Media aritmetică a valorilor 1,25, 1,05, 1,1 și 1,2 ne-ar da

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Să calculăm acum, ca să vedem, prețul mașinii dacă timp de patru ani la rând prețul ei ar crește de 1,15 ori:

$$200.000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=349.801,25$$

Ne-a ieșit alt număr! Asta înseamnă că 1,15 (adică 15%) nu este răspunsul corect, aceasta nu este scumpirea anuală medie corectă. Media aritmetică nu ne poate răspunde deci la această întrebare. Trebuie să folosim media geometrică.

Cum calculezi media geometrică

Cu câte procente s-a scumpit mașina în acești ani? Calculăm asta înmulțind toți multiplii de scumpire:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Fordul Mustang s-a scumpit deci după patru ani de 1,7325 ori. Iar acum ne întrebăm de fapt: ce număr, dacă îl înmulțim de patru ori, ne dă 1,7325? Este radicalul de ordin patru din numărul 1,7325 (vezi radicalii). Să încercăm:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Să încercăm acum să înmulțim prețul mașinii de patru ori cu acest număr:

$$200.000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=346.500$$

Acum se potrivește, numărul $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ este deci scumpirea anuală medie corectă a mașinii.

Formula mediei geometrice

Dacă avem n numere x₁, x₂, …, x_n, media geometrică G o calculăm ca

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Sau o putem scrie echivalent astfel:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

De exemplu, media geometrică a numerelor 1, 2, 3, 4, 5 am calcula-o astfel:

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$