Geometrinen keskiarvo

Kuvittele, että haluat ostaa uuden auton, vaikkapa Ford Mustangin. Olet katsellut sitä pitkään ja kirjaat joka vuosi ylös, kuinka paljon se on kallistunut edelliseen vuoteen verrattuna. Ensimmäisenä vuonna auto maksoi 50 000 euroa, heti toisena vuonna se kallistui 25 %, seuraavana vuonna 5 %, neljäntenä vuonna 10 % ja nyt viidentenä vuonna 20 %. Voimme laskea, paljonko auto maksaa nyt, muuttamalla prosentit muutoskertoimiksi eli ”kallistuminen 25 %:lla” kirjoitetaan ”alkuperäinen hinta kertaa 1,25”. Ford Mustangin nykyinen hinta on siis

$$50000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=86625$$

Mustangin hinta viiden vuoden jälkeen on 86 625 euroa. Nyt voisimme kysyä, mikä oli auton keskimääräinen vuotuinen kallistuminen? Ensimmäisenä vuonna auto kallistui 1,25-kertaiseksi, toisena vuonna 1,05-kertaiseksi ja niin edelleen. Mikä oli keskimääräinen kallistuminen? Jos käyttäisimme tavallista aritmeettista keskiarvoa, saisimme järjettömän tuloksen. Lukujen 1,25, 1,05, 1,1 ja 1,2 aritmeettinen keskiarvo olisi

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Lasketaanpa varmuuden vuoksi auton hinta, jos sen hinta nousisi neljänä peräkkäisenä vuonna 1,15-kertaiseksi:

$$50000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=87450,31$$

Saimme eri luvun! Tämä tarkoittaa, että 1,15 (eli 15 %) ei ole oikea vastaus, eikä se ole oikea keskimääräinen vuotuinen kallistuminen. Aritmeettinen keskiarvo ei siis pysty vastaamaan tähän kysymykseen. Meidän on käytettävä geometristä keskiarvoa.

Geometrisen keskiarvon laskeminen

Kuinka monta prosenttia auto kallistui näiden viiden vuoden aikana? Laskemme sen kertomalla kaikki kallistumisen muutoskertoimet keskenään:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Ford Mustang kallistui siis neljässä vuodessa 1,7325-kertaiseksi. Nyt kysymme oikeastaan: mikä luku antaa tuloksen 1,7325, kun se kerrotaan itsellään neljä kertaa? Se on luvun 1,7325 neljäs juuri. Kokeillaan:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Kerrotaan nyt auton hinta tällä luvulla neljä kertaa:

$$50000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=86625$$

Nyt se täsmää, joten luku $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ on auton oikea keskimääräinen vuotuinen kallistuminen.

Geometrisen keskiarvon kaava

Kun meillä on n lukua x₁, x₂, …, x_n, niiden geometrinen keskiarvo G lasketaan näin:

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Tai sen voi kirjoittaa yhtäpitävästi myös näin:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Esimerkiksi lukujen 1, 2, 3, 4, 5 geometrinen keskiarvo laskettaisiin näin:

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$