Geometrisches Mittel

Stell dir vor, du möchtest dir ein neues Auto kaufen, zum Beispiel einen Ford Mustang. Du schaust schon lange danach und notierst dir jedes Jahr, um wie viel es im Vergleich zum Vorjahr teurer geworden ist. Während das Auto im ersten Jahr 40.000 € kostete, wurde es gleich im zweiten Jahr um 25 % teurer, im nächsten Jahr um 5 %, im vierten Jahr um 10 % und jetzt, im fünften Jahr, um 20 %. Wir können berechnen, was das Auto derzeit kostet, indem wir die Prozente in Vielfache des Preises umwandeln, d. h. „Preiserhöhung um 25 %“ schreiben wir als „ursprünglicher Preis mal 1,25“. Der aktuelle Preis des Ford Mustang ist also

$$40000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=69300$$

Der Preis des Mustangs nach fünf Jahren beträgt 69.300 €. Und jetzt könnten wir fragen: Wie hoch war die durchschnittliche jährliche Preissteigerung des Autos? Im ersten Jahr stieg der Preis auf das 1,25-Fache, im zweiten Jahr auf das 1,05-Fache usw. Wie hoch war die durchschnittliche Preissteigerung? Wenn wir das übliche arithmetische Mittel verwenden, kommt Unsinn heraus. Das arithmetische Mittel der Werte 1,25, 1,05, 1,1 und 1,2 wäre

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Berechnen wir zur Probe den Preis des Autos, wenn sich sein Preis vier Jahre hintereinander auf das 1,15-Fache erhöhen würde:

$$40000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=69960,25$$

Wir haben eine andere Zahl erhalten! Das bedeutet, dass 1,15 (also 15 %) nicht die richtige Antwort ist, das ist nicht die richtige durchschnittliche jährliche Preissteigerung. Das arithmetische Mittel kann diese Frage also nicht beantworten. Wir müssen das geometrische Mittel verwenden.

So berechnest du das geometrische Mittel

Um wie viel Prozent wurde das Auto in diesen fünf Jahren teurer? Das berechnen wir, indem wir alle Wachstumsfaktoren multiplizieren:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Der Preis des Ford Mustang stieg nach vier Jahren also auf das 1,7325-Fache. Und nun fragen wir eigentlich: Welche Zahl ergibt 1,7325, wenn wir sie viermal mit sich selbst multiplizieren? Das ist die vierte Wurzel aus der Zahl 1,7325. Probieren wir es aus:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Multiplizieren wir nun den Preis des Autos viermal mit dieser Zahl:

$$40000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=69300$$

Jetzt stimmt es, die Zahl $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ ist also die richtige durchschnittliche jährliche Preissteigerung des Autos.

Formel für das geometrische Mittel

Haben wir n Zahlen x₁, x₂, …, x_n, dann berechnen wir das geometrische Mittel G als

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Oder wir können es äquivalent so schreiben:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Als Beispiel würden wir das geometrische Mittel der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 so berechnen:

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$