Geometrisk gennemsnit

Forestil dig, at du vil købe en ny bil, sådan en Ford Mustang. Du har kigget længe efter den og skriver hvert år op, hvor meget den er blevet dyrere i forhold til året før. Første år kostede bilen en million kroner, allerede andet år steg prisen med 25 %, næste år med 5 %, fjerde år steg den med 10 %, og nu, femte år, steg den med 20 %. Vi kan beregne, hvad bilen koster nu, ved at omregne procenterne til multipla af prisen, altså »prisstigning på 25 %« skriver vi som »oprindelig pris gange 1,25«. Den aktuelle pris på Ford Mustang er altså

$$1.000.000\cdot 1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=1.732.500$$

Prisen på Mustangen efter fem år er 1.732.500. Og nu kunne vi spørge: hvad var bilens gennemsnitlige årlige prisstigning? Første år blev bilen 1,25 gange dyrere, andet år 1,05 gange osv. Hvad var den gennemsnitlige prisstigning? Hvis vi brugte det almindelige aritmetiske gennemsnit, får vi noget vrøvl. Det aritmetiske gennemsnit af værdierne 1,25, 1,05, 1,1 og 1,2 ville blive

$$\frac{1,25+1,05+1,1+1,2}{4}=\frac{4,6}{4}=1,15$$

Lad os for en sikkerheds skyld prøve at beregne bilens pris, hvis prisen fire år i træk steg 1,15 gange:

$$1.000.000\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15\cdot 1,15=1.749.006,25$$

Vi fik et andet tal! Det betyder, at 1,15 (altså 15 %) ikke er det rigtige svar, det er ikke den rigtige gennemsnitlige årlige prisstigning. Det aritmetiske gennemsnit kan altså ikke besvare dette spørgsmål. Vi må bruge det geometriske gennemsnit.

Sådan beregner du det geometriske gennemsnit

Hvor mange procent steg bilens pris i løbet af de fem år? Det beregner vi ved at gange alle prisstigningsfaktorerne:

$$1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2=\mathrm{1,732}5$$

Prisen på Ford Mustang steg altså efter fire stigninger 1,7325 gange. Og nu spørger vi i virkeligheden: hvilket tal giver 1,7325, når vi ganger det med sig selv fire gange? Det er den fjerde rod af tallet 1,7325. Lad os prøve:

$$\sqrt[4]{1,25\cdot 1,05\cdot 1,1\cdot 1,2}=\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\approx \mathrm{1,147}277$$

Lad os nu gange bilens pris fire gange med dette tal:

$$1.000.000\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}\cdot \sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}=1.732.500$$

Nu passer det, tallet $\sqrt[4]{\mathrm{1,732}5}$ er altså den rigtige gennemsnitlige årlige prisstigning for bilen.

Formel for det geometriske gennemsnit

Hvis vi har n tal x₁, x₂, …, x_n, beregner vi det geometriske gennemsnit G som

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Eller vi kan skrive det ækvivalent sådan:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Som eksempel ville vi beregne det geometriske gennemsnit af tallene 1, 2, 3, 4, 5 som

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2,6$$