Limită infinită într-un punct finit

Limita unei funcții este una dintre cele mai importante noțiuni ale analizei matematice. Descrie comportamentul unei funcții în vecinătatea unui anumit punct, ceea ce ne permite, de exemplu, să definim continuitatea funcției. Limita ne ajută să înțelegem comportamentul funcției chiar și în punctele în care ea nu este deloc definită.

Limită infinită într-un punct finit

În partea precedentă am vorbit despre limita finită într-un punct finit. Punctul x₀ este finit dacă x₀ ∈ ℝ, adică dacă este un număr real. Dar prin punct putem înțelege și infinitul – un astfel de punct îl numim infinit. Deosebim plus și minus infinit: +∞, −∞. Limita infinită într-un punct finit înseamnă deci că avem o funcție f, un punct finit x₀, iar limita în acest punct ne iese infinit. Un exemplu de astfel de funcție este $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Graficul:

În punctul finit x₀ = 0 funcția are limita plus infinit – oricare ar fi partea din care ne apropiem de x₀, valoarea crește mereu spre infinit. Fie x₀ un punct de acumulare al domeniului de definiție al funcției f. Funcția f are în punctul x₀ limita +∞ dacă

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

și −∞ dacă

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Dacă definiția este îndeplinită, putem scrie

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Ce ne spune definiția? Variabila K reprezintă, în prima definiție, un fel de prag pe axa Oy. Definiția spune apoi că, oricât de mare (de înalt) ar fi pragul K ales, găsim mereu o vecinătate redusă de rază δ a punctului x₀, astfel încât pentru toate elementele din această vecinătate valoarea funcției este mai mare decât K.

Ca exemplu, încercăm să ilustrăm definiția pe funcția precedentă – vom căuta limita în punctul x₀ = 0. Alegem K = 4:

Acum trebuie să găsim o valoare δ astfel încât toate punctele din intervalul (−δ, 0) ∪ (0, δ) să aibă valoarea funcției mai mare decât K. Putem alege, de exemplu, δ = 0,2. Dacă desenăm, obținem:

Vedem că valorile funcției pentru punctele din intervalul (−δ, 0) ∪ (0, δ) se află deasupra valorii K. Putem și să calculăm. Pentru x = −0,2 obținem f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funcția este strict crescătoare pe numerele negative, deci pentru toți x din intervalul (−0,2; 0) valoarea funcției va fi sigur mai mare decât cinci și deci și mai mare decât K = 4. La fel pentru al doilea interval.

Acum am arătat asta doar pentru un anumit K. Pentru ca funcția să aibă limita plus infinit, trebuie să fie adevărat pentru orice K. Să încercăm să demonstrăm. Pentru că f(x) = f(−x) (funcția este pară), este suficient să lucrăm doar cu varianta pozitivă, adică ne limităm la intervalul (0, +∞).

Avem dat un K și trebuie să găsim un δ astfel încât pentru toți x ∈ (0, δ) să avem f(x) > K. Pentru că funcția este strict descrescătoare pe intervalul pozitiv, este suficient să găsim un δ pentru care f(δ) > K. Atunci va fi sigur adevărat și pentru toți x ∈ (0, δ). Rezolvăm acum această inecuație: f(δ) > K, după înlocuire:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Înmulțim acum întreaga inecuație cu δ. Valoarea δ este conform definiției mereu pozitivă, deci ne putem permite. Obținem:

$$1>\delta \cdot K$$

Să presupunem acum că K > 0. Pentru K ≤ 0 demonstrația este banală, pentru că f(x) > 0 pentru toți x. Acum putem împărți întreaga inecuație la K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Acesta este rezultatul. Dacă avem dat K, valoarea δ o găsim luând orice număr mai mic decât 1/K (și mai mare decât zero, conform definiției) și obținem intervalul nostru (0, δ).

În cazul precedent aveam K = 4. Dacă înlocuim, aflăm că 1/4>δ. Delta trebuie să fie mai mic decât un sfert. Noi am ales 0,2, o cincime, și a ieșit corect.