Uneigentlicher Grenzwert an einer eigentlichen Stelle

Der Grenzwert einer Funktion ist einer der wichtigsten Begriffe der Analysis. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Umgebung einer bestimmten Stelle, wodurch wir zum Beispiel die Stetigkeit einer Funktion definieren können. Der Grenzwert hilft uns, das Verhalten einer Funktion auch an Stellen zu verstehen, an denen sie überhaupt nicht definiert ist.

Uneigentlicher Grenzwert an einer eigentlichen Stelle

Im vorherigen Teil haben wir über den eigentlichen Grenzwert an einer eigentlichen Stelle gesprochen. Die Stelle x₀ ist eigentlich, wenn x₀ ∈ ℝ gilt, wenn sie also eine reelle Zahl ist. Mit einer Stelle können wir aber auch das Unendliche meinen – eine solche Stelle nennen wir dann uneigentlich. Wir unterscheiden plus und minus unendlich: +∞, −∞. Ein uneigentlicher Grenzwert an einer eigentlichen Stelle bedeutet also, dass wir eine Funktion f und eine eigentliche Stelle x₀ haben und der Grenzwert an dieser Stelle unendlich ergibt. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Graph:

An der eigentlichen Stelle x₀ = 0 hat die Funktion den Grenzwert plus unendlich – von welcher Seite wir uns x₀ auch nähern, der Wert wächst immer ins Unendliche. Es sei x₀ ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs der Funktion f. Die Funktion f hat an der Stelle x₀ den Grenzwert +∞, wenn

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

und −∞, wenn

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Ist die Definition erfüllt, können wir schreiben:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Was sagt uns die Definition? Die Variable K stellt in der ersten Definition eine Art Schranke auf der y-Achse dar. Die Definition sagt dann, dass wir, wie groß (hoch) wir die Schranke K auch wählen, immer eine punktierte δ-Umgebung der Stelle x₀ finden, für deren sämtliche Elemente gilt, dass sie einen Funktionswert größer als K haben.

Als Beispiel zeigen wir die Definition an der vorherigen Funktion – wir suchen den Grenzwert an der Stelle x₀ = 0. Wir wählen K = 4:

Nun müssen wir einen Wert δ finden, sodass alle Punkte aus dem Intervall ]−δ; 0[ ∪ ]0; δ[ einen Funktionswert größer als K haben. Wir können zum Beispiel δ = 0,2 wählen. Zeichnen wir das in das Bild ein, erhalten wir:

Wir sehen, dass die Funktionswerte, die im Intervall ]−δ; 0[ ∪ ]0; δ[ liegen, über dem Wert K liegen. Wir können es auch nachrechnen. Für den Wert x = −0,2 erhalten wir f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Die Funktion ist im Negativen streng monoton steigend, deshalb ist für alle x aus dem Intervall ]−0,2; 0[ der Funktionswert sicher größer als fünf und damit auch größer als K = 4. Ähnlich für das zweite Intervall.

Jetzt haben wir es nur für ein konkretes K gezeigt. Soll die Funktion den Grenzwert plus unendlich haben, muss es für jedes beliebige K gelten. Wir versuchen, es zu beweisen. Da f(x) = f(−x) gilt (die Funktion ist gerade), genügt es, nur mit der positiven Variante zu rechnen, d. h. wir beschränken uns auf das Intervall ]0; +∞[.

Wir haben ein beliebiges K gegeben und müssen ein δ finden, sodass für alle x ∈ ]0; δ[ gilt f(x) > K. Da die Funktion im positiven Intervall streng monoton fallend ist, genügt es, ein δ zu finden, für das f(δ) > K gilt. Dann gilt es sicher auch für alle x ∈ ]0; δ[. Nun lösen wir diese Ungleichung: f(δ) > K, nach dem Einsetzen:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Die ganze Ungleichung multiplizieren wir nun mit δ. Der Wert δ ist nach der Definition immer positiv, das dürfen wir also tun. Wir erhalten:

$$1>\delta \cdot K$$

Nehmen wir nun an, dass K > 0 ist. Für K ≤ 0 ist der Beweis trivial, denn f(x) > 0 gilt für alle x. Jetzt können wir die ganze Ungleichung durch K dividieren:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Das ist das Ergebnis. Haben wir K gegeben, finden wir den Wert δ, indem wir eine beliebige Zahl nehmen, die kleiner als 1/K (und nach der Definition größer als null) ist, und erhalten unser Intervall ]0; δ[.

Im vorherigen Fall hatten wir K = 4. Setzen wir ein, stellen wir fest, dass 1/4>δ gilt. Delta muss kleiner als ein Viertel sein. Wir haben 0,2 gewählt, ein Fünftel, und es hat richtig funktioniert.