Uendelig grænseværdi i et endeligt punkt

Grænseværdi af en funktion er et af de vigtigste begreber i matematisk analyse. Den beskriver, hvordan en funktion opfører sig i nærheden af et bestemt punkt, og derfor kan vi for eksempel definere kontinuitet af en funktion. Grænseværdien hjælper os med at forstå en funktions opførsel også de steder, hvor den slet ikke er defineret.

Uendelig grænseværdi i et endeligt punkt

I den foregående del talte vi om endelig grænseværdi i et endeligt punkt. Punktet x₀ er endeligt, hvis x₀ ∈ ℝ, altså hvis det er et reelt tal. Men med et punkt kan vi også mene uendelig — et sådant punkt kalder vi så uendeligt. Vi skelner mellem plus og minus uendelig: +∞, −∞. Uendelig grænseværdi i et endeligt punkt betyder altså, at vi har en funktion f og et endeligt punkt x₀, og grænseværdien i dette punkt bliver uendelig. Et eksempel på en sådan funktion kan være $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Grafen:

I det endelige punkt x₀ = 0 har funktionen grænseværdien plus uendelig — uanset fra hvilken side vi nærmer os x₀, vokser værdien altid mod uendelig. Lad x₀ være et ophobningspunkt for definitionsmængden for funktionen f. Funktionen f har i punktet x₀ grænseværdien +∞, hvis

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

og −∞, hvis

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Hvis definitionen er opfyldt, kan vi skrive

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Hvad fortæller definitionen os? Variablen K er i den første definition en slags grænse på y-aksen. Definitionen siger så, at uanset hvor stor (høj) en grænse K vi vælger, finder vi altid en punkteret δ-omegn af punktet x₀, og for alle elementer i denne omegn gælder det, at deres funktionsværdi er større end K.

Som eksempel prøver vi at vise definitionen på den foregående funktion — vi søger grænseværdien i punktet x₀ = 0. Vi vælger K = 4:

Nu skal vi finde en sådan værdi af δ, at alle punkter fra intervallet ]−δ; 0[ ∪ ]0; δ[ har en funktionsværdi, der er større end K. Vi kan for eksempel vælge δ = 0,2. Når vi tegner det ind på figuren, får vi:

Vi ser, at funktionsværdierne, som ligger i intervallet ]−δ; 0[ ∪ ]0; δ[, ligger over værdien K. Vi kan også regne det efter. For værdien x = −0,2 får vi f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funktionen er strengt voksende for negative tal, så for alle x fra intervallet ]−0,2; 0[ vil funktionsværdien helt sikkert være større end fem og dermed også større end K = 4. Tilsvarende for det andet interval.

Nu har vi kun vist det for ét bestemt K. Hvis funktionen skal have grænseværdien plus uendelig, skal det gælde for et vilkårligt K. Vi prøver at bevise det. Fordi f(x) = f(−x) (funktionen er lige), er det nok, at vi kun regner med den positive variant, dvs. vi begrænser os til intervallet ]0; ∞[.

Vi har givet et K, og vi skal finde et δ, så der for alle x ∈ ]0; δ[ gælder f(x) > K. Fordi funktionen er strengt aftagende i det positive interval, er det nok, at vi finder et δ, for hvilket der gælder f(δ) > K. Så vil det helt sikkert også gælde for alle x ∈ ]0; δ[. Nu løser vi denne ulighed: f(δ) > K, efter indsættelse:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Hele uligheden multiplicerer vi nu med δ. Værdien δ er ifølge definitionen altid positiv, så det kan vi tillade os. Vi får:

$$1>\delta \cdot K$$

Antag nu, at K > 0. For K ≤ 0 er beviset trivielt, fordi f(x) > 0 for alle x. Nu kan vi dividere hele uligheden med K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Det er resultatet. Hvis vi har givet K, finder vi værdien af δ ved at tage et vilkårligt tal, der er mindre end værdien 1/K (og større end nul ifølge definitionen), og får vores interval ]0; δ[.

I det foregående tilfælde havde vi K = 4. Når vi indsætter, finder vi ud af, at 1/4>δ. Delta skal være mindre end en fjerdedel. Vi valgte 0,2, en femtedel, og det gik rigtigt.