Límite infinito en un punto

El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Describe el comportamiento de una función en un entorno de un punto determinado, gracias a lo cual podemos definir, por ejemplo, la continuidad de una función. El límite nos ayuda a entender cómo se comporta una función incluso en los puntos en los que ni siquiera está definida.

Límite infinito en un punto

En la parte anterior hablamos del límite finito en un punto. El punto x₀ es finito si x₀ ∈ ℝ, es decir, si es un número real. Pero por punto también podemos entender el infinito, y a un punto así lo llamamos impropio. Distinguimos el más y el menos infinito: +∞, −∞. El límite infinito en un punto significa, por tanto, que tenemos una función f, un punto finito x₀ y que el límite en este punto nos sale infinito. Un ejemplo de una función así puede ser $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Gráfica:

En el punto finito x₀ = 0 la función tiene límite más infinito: nos acerquemos a x₀ por el lado que nos acerquemos, el valor siempre crece hacia el infinito. Sea x₀ un punto de acumulación del dominio de la función f. La función f tiene en el punto x₀ límite +∞ si

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

y −∞ si

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Si se cumple la definición, podemos escribir

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

¿Qué nos dice la definición? La variable K representa, en la primera definición, una especie de cota en el eje y. La definición dice entonces que, por grande (alta) que elijamos la cota K, siempre encontraremos algún entorno reducido de radio δ del punto x₀ tal que todos los elementos de este entorno tienen un valor de la función mayor que K.

Como ejemplo, probemos la definición con la función anterior: buscaremos el límite en el punto x₀ = 0. Elegimos K = 4:

Ahora debemos encontrar un valor de δ tal que todos los puntos del intervalo (−δ, 0) ∪ (0, δ) tengan un valor de la función mayor que K. Podemos elegir, por ejemplo, δ = 0,2. Si lo dibujamos en la figura, obtenemos:

Vemos que los valores de la función que están en el intervalo (−δ, 0) ∪ (0, δ) se encuentran por encima del valor K. También podemos calcularlo. Para el valor x = −0,2 obtenemos f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. La función es creciente en los números negativos, así que para todos los x del intervalo (−0,2; 0) el valor de la función será sin duda mayor que cinco y, por tanto, también mayor que K = 4. De forma análoga para el otro intervalo.

Ahora lo hemos mostrado solo para un K concreto. Para que la función tenga límite más infinito, debe cumplirse para cualquier K. Intentemos demostrarlo. Como f(x) = f(−x) (la función es par), basta con que trabajemos solo con la variante positiva, es decir, nos limitamos al intervalo (0, +∞).

Tenemos dado algún K y debemos encontrar un δ tal que para todo x ∈ (0, δ) se cumpla f(x) > K. Como la función es decreciente en el intervalo positivo, nos basta con encontrar un δ para el que se cumpla f(δ) > K. Entonces se cumplirá sin duda también para todo x ∈ (0, δ). Ahora resolvemos esta inecuación: f(δ) > K; tras sustituir:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Ahora multiplicamos toda la inecuación por δ. El valor δ es, por definición, siempre positivo, así que podemos permitírnoslo. Obtenemos:

$$1>\delta \cdot K$$

Supongamos ahora que K > 0. Para K ≤ 0 la demostración es trivial, porque f(x) > 0 para todo x. Ahora podemos dividir toda la inecuación entre K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Ese es el resultado. Si nos dan K, el valor de δ lo encontramos tomando cualquier número menor que 1/K (y mayor que cero, según la definición), y obtenemos nuestro intervalo (0, δ).

En el caso anterior teníamos K = 4. Si sustituimos, vemos que 1/4>δ. Delta debe ser menor que un cuarto. Nosotros elegimos 0,2, un quinto, y nos salió bien.