Uendelig grenseverdi i et endelig punkt

Grenseverdien til en funksjon er et av de viktigste begrepene i analysen. Den beskriver hvordan en funksjon oppfører seg i nærheten av et bestemt punkt, og det lar oss for eksempel definere kontinuitet. Grenseverdien hjelper oss å forstå hvordan funksjonen oppfører seg også på steder der den ikke er definert i det hele tatt.

Uendelig grenseverdi i et endelig punkt

I forrige del snakket vi om endelig grenseverdi i et endelig punkt. Punktet x₀ er endelig hvis x₀ ∈ ℝ, altså hvis det er et reelt tall. Men med et punkt kan vi også mene det uendelige, og et slikt punkt kaller vi uendelig. Vi skiller mellom pluss og minus uendelig: +∞, −∞. Uendelig grenseverdi i et endelig punkt betyr altså at vi har en funksjon f og et endelig punkt x₀, og at grenseverdien i dette punktet blir uendelig. Et eksempel på en slik funksjon er $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Graf:

I det endelige punktet x₀ = 0 har funksjonen grenseverdi pluss uendelig. Uansett fra hvilken side vi nærmer oss x₀, vokser verdien alltid mot det uendelige. La x₀ være et opphopningspunkt for definisjonsmengden til funksjonen f. Funksjonen f har grenseverdi +∞ i punktet x₀ hvis

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

og −∞ hvis

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Når definisjonen er oppfylt, kan vi skrive

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Hva sier definisjonen oss? Variabelen K er i den første definisjonen en slags grense på y-aksen. Definisjonen sier at uansett hvor stor (høy) grense K vi velger, finner vi alltid en punktert δ-omegn til punktet x₀ slik at alle elementer i denne omegnen har en funksjonsverdi som er større enn K.

Som eksempel prøver vi å vise definisjonen på den forrige funksjonen. Vi leter etter grenseverdien i punktet x₀ = 0. Vi velger K = 4:

Nå må vi finne en verdi δ slik at alle punkter i ⟨ − δ, 0⟩ ∪ ⟨0, δ⟩ har en funksjonsverdi som er større enn K. Vi kan for eksempel velge δ = 0,2. Når vi tegner det inn i figuren, får vi:

Vi ser at funksjonsverdiene i ⟨ − δ, 0⟩ ∪ ⟨0, δ⟩ ligger over verdien K. Vi kan også regne det ut. For verdien x = −0,2 får vi f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funksjonen er strengt voksende for negative tall, så for alle x i intervallet ⟨ − 0,2; 0⟩ er funksjonsverdien helt sikkert større enn fem, og dermed også større enn K = 4. Tilsvarende for det andre intervallet.

Nå har vi bare vist det for ett bestemt K. Hvis funksjonen skal ha grenseverdi pluss uendelig, må det gjelde for et hvilket som helst K. La oss prøve å bevise det. Siden f(x) = f(−x) (funksjonen er like), er det nok å regne med den positive varianten, altså å begrense oss til intervallet ⟨0, → ⟩.

Vi har gitt et K, og vi må finne en δ slik at f(x) > K for alle x ∈ ⟨0, δ⟩. Siden funksjonen er strengt avtagende i det positive intervallet, er det nok å finne en δ der f(δ) > K. Da gjelder det sikkert også for alle x ∈ ⟨0, δ⟩. Nå løser vi denne ulikheten: f(δ) > K, og etter innsetting:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Nå ganger vi hele ulikheten med δ. Verdien δ er ifølge definisjonen alltid positiv, så det kan vi tillate oss. Vi får:

$$1>\delta \cdot K$$

La oss nå anta at K > 0. For K ≤ 0 er beviset trivielt, fordi f(x) > 0 for alle x. Nå kan vi dele hele ulikheten på K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Det er resultatet. Hvis vi har gitt K, finner vi verdien av δ ved å ta et hvilket som helst tall som er mindre enn 1/K (og større enn null, ifølge definisjonen), og så får vi intervallet vårt ⟨0, δ⟩.

I det forrige tilfellet hadde vi K = 4. Når vi setter inn, ser vi at 1/4>δ. Delta må være mindre enn en fjerdedel. Vi valgte 0,2, en femtedel, og det gikk bra.