Oneindige limiet in een eigenlijk punt

De limiet van een functie is een van de belangrijkste begrippen van de wiskundige analyse. Ze beschrijft het gedrag van een functie in de omgeving van een bepaald punt, waardoor we bijvoorbeeld de continuïteit van een functie kunnen definiëren. De limiet van een functie helpt ons het gedrag van een functie te begrijpen, ook op plekken waar ze helemaal niet gedefinieerd is.

Oneindige limiet in een eigenlijk punt

In het vorige deel hadden we het over een eindige limiet in een eigenlijk punt. Het punt x₀ is eigenlijk als x₀ ∈ ℝ, als het een reëel getal is. Maar met een punt kunnen we ook oneindig bedoelen — zo'n punt noemen we dan oneigenlijk. We onderscheiden plus en min oneindig: +∞, −∞. Een oneindige limiet in een eigenlijk punt betekent dus dat we een functie f hebben, een eigenlijk punt x₀ en dat de limiet in dit punt oneindig blijkt te zijn. Een voorbeeld van zo'n functie is $f(x)=|\frac{1}{x}|$. De grafiek:

In het eigenlijke punt x₀ = 0 heeft de functie limiet plus oneindig — van welke kant we x₀ ook naderen, de waarde groeit steeds naar oneindig. Stel dat x₀ een ophopingspunt van het domein van de functie f is. De functie f heeft in het punt x₀ limiet +∞ als

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

en −∞ als

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Als aan de definitie is voldaan, kunnen we schrijven

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Wat zegt de definitie ons? De variabele K stelt, in de eerste definitie, een soort grens op de y-as voor. De definitie zegt dan dat, hoe groot (hoog) we de grens K ook kiezen, we altijd een gepuncteerde δ-omgeving van het punt x₀ vinden waarvoor geldt dat alle elementen uit die omgeving een functiewaarde hebben die groter is dan K.

Als voorbeeld proberen we de definitie te laten zien aan de vorige functie — we zoeken de limiet in het punt x₀ = 0. We kiezen K = 4:

Nu moeten we zo'n waarde δ vinden dat alle punten uit het interval ⟨ − δ, 0⟩ ∪ ⟨0, δ⟩ een functiewaarde groter dan K hebben. We kunnen bijvoorbeeld δ = 0,2 kiezen. Als we dat in het plaatje tekenen, krijgen we:

We zien dat de functiewaarden die in het interval ⟨ − δ, 0⟩ ∪ ⟨0, δ⟩ liggen, boven de waarde K liggen. We kunnen het ook uitrekenen. Voor de waarde x = −0,2 krijgen we f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. De functie is op de negatieve getallen strikt stijgend, dus voor alle x uit het interval ⟨ − 0,2; 0⟩ is de functiewaarde zeker groter dan vijf en dus ook groter dan K = 4. Op dezelfde manier voor het tweede interval.

Nu hebben we het maar voor één bepaalde K laten zien. Als de functie limiet plus oneindig moet hebben, moet dit voor elke K gelden. We proberen het te bewijzen. Omdat f(x) = f(−x) (de functie is even), volstaat het als we alleen met de positieve variant rekenen, dus we beperken ons tot het interval ⟨0, → ⟩.

We hebben een gegeven K en we moeten zo'n δ vinden dat voor alle x ∈ ⟨0, δ⟩ geldt f(x) > K. Omdat de functie op het positieve interval strikt dalend is, volstaat het als we zo'n δ vinden waarvoor geldt f(δ) > K. Dan geldt het zeker ook voor alle x ∈ ⟨0, δ⟩. Nu lossen we deze ongelijkheid op: f(δ) > K, na invullen:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

De hele ongelijkheid vermenigvuldigen we nu met δ. De waarde δ is volgens de definitie altijd positief, dus dat mag. We krijgen:

$$1>\delta \cdot K$$

We nemen nu aan dat K > 0. Voor K ≤ 0 is het bewijs triviaal, want f(x) > 0 voor alle x. Nu kunnen we de hele ongelijkheid door K delen:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Dat is het resultaat. Als we een K gegeven hebben, vinden we de waarde δ door een willekeurig getal te nemen dat kleiner is dan de waarde 1/K (en groter dan nul, volgens de definitie), en dan krijgen we ons interval ⟨0, δ⟩.

In het vorige geval hadden we K = 4. Als we dat invullen, zien we dat 1/4>δ. Delta moet kleiner zijn dan een kwart. Wij kozen 0,2, een vijfde, en het kwam goed uit.