Limite infinito in un punto al finito

Il limite di una funzione è uno dei concetti più importanti dell’analisi matematica. Descrive il comportamento di una funzione vicino a un certo punto e grazie a esso possiamo definire, per esempio, la continuità di una funzione. Il limite ci aiuta a capire come si comporta la funzione anche nei punti in cui non è affatto definita.

Limite infinito in un punto al finito

Nella parte precedente abbiamo parlato del limite finito in un punto al finito. Il punto x₀ è al finito se x₀ ∈ ℝ, cioè se è un numero reale. Ma per punto possiamo intendere anche l’infinito: un punto di questo tipo si dice all’infinito. Distinguiamo più infinito e meno infinito: +∞, −∞. Il limite infinito in un punto al finito significa quindi che abbiamo una funzione f, un punto x₀ al finito e che il limite in questo punto risulta infinito. Un esempio di funzione di questo tipo è $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Grafico:

Nel punto al finito x₀ = 0 la funzione ha limite più infinito: da qualunque lato ci avviciniamo a x₀, il valore cresce sempre verso l’infinito. Sia x₀ un punto di accumulazione del dominio della funzione f. La funzione f ha nel punto x₀ limite +∞ se

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

e −∞ se

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Se la definizione è soddisfatta, possiamo scrivere

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Che cosa ci dice la definizione? La variabile K rappresenta, nella prima definizione, una specie di soglia sull’asse y. La definizione dice che, per quanto grande (alta) sia la soglia K che scegliamo, troviamo sempre un intorno bucato di raggio δ del punto x₀ tale che tutti gli elementi di questo intorno abbiano un valore della funzione maggiore di K.

Come esempio proviamo a mostrare la definizione sulla funzione precedente: cercheremo il limite nel punto x₀ = 0. Scegliamo K = 4:

Ora dobbiamo trovare un valore di δ tale che tutti i punti dell’intervallo (−δ; 0) ∪ (0; δ) abbiano un valore della funzione maggiore di K. Possiamo scegliere per esempio δ = 0,2. Se lo rappresentiamo nella figura, otteniamo:

Vediamo che i valori della funzione che corrispondono all’intervallo (−δ; 0) ∪ (0; δ) si trovano sopra il valore K. Possiamo anche calcolarlo. Per x = −0,2 otteniamo f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Nell’intervallo dei numeri negativi la funzione è crescente, quindi per tutti gli x dell’intervallo (−0,2; 0) il valore della funzione è sicuramente maggiore di cinque e quindi anche maggiore di K = 4. Analogamente per il secondo intervallo.

Ora lo abbiamo mostrato solo per un K particolare. Perché la funzione abbia limite più infinito, deve valere per qualsiasi K. Proviamo a dimostrarlo. Poiché f(x) = f(−x) (la funzione è pari), ci basta considerare solo la parte positiva, cioè limitarci all’intervallo (0; +∞).

Abbiamo un certo K e dobbiamo trovare un δ tale che per tutti gli x ∈ (0; δ) sia f(x) > K. Poiché nell’intervallo dei numeri positivi la funzione è decrescente, ci basta trovare un δ per cui valga f(δ) > K. Allora varrà certamente anche per tutti gli x ∈ (0; δ). Risolviamo quindi questa disequazione: f(δ) > K, dopo la sostituzione:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Ora moltiplichiamo tutta la disequazione per δ. Per definizione il valore δ è sempre positivo, quindi possiamo farlo. Otteniamo:

$$1>\delta \cdot K$$

Supponiamo ora che sia K > 0. Per K ≤ 0 la dimostrazione è banale, perché f(x) > 0 per ogni x. Ora possiamo dividere tutta la disequazione per K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Questo è il risultato. Se è dato K, il valore di δ si trova prendendo un qualsiasi numero minore di 1/K (e maggiore di zero, per definizione) e otteniamo il nostro intervallo (0; δ).

Nel caso precedente avevamo K = 4. Se sostituiamo, vediamo che 1/4>δ. Delta deve essere minore di un quarto. Noi abbiamo scelto 0,2, un quinto, e ha funzionato.