Limite infinie en un réel

La limite d’une fonction est l’une des notions les plus importantes de l’analyse. Elle décrit le comportement d’une fonction au voisinage d’un point, ce qui permet par exemple de définir la continuité d’une fonction. La limite nous aide à comprendre le comportement d’une fonction même aux endroits où elle n’est pas du tout définie.

Limite infinie en un réel

Dans la partie précédente, nous avons parlé de la limite finie en un réel. Le point x₀ est « fini » si x₀ ∈ ℝ, c’est-à-dire si c’est un nombre réel. Mais on peut aussi entendre par « point » l’infini – on parle alors de limite en l’infini. On distingue plus et moins l’infini : +∞, −∞. Une limite infinie en un réel signifie donc que l’on a une fonction f, un réel x₀, et que la limite en ce point est l’infini. Un exemple d’une telle fonction est $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Courbe :

Au point x₀ = 0, la fonction a pour limite plus l’infini : de quelque côté que l’on s’approche de x₀, la valeur croît toujours vers l’infini. Soit x₀ un point d’accumulation de l’ensemble de définition de la fonction f. La fonction f a pour limite +∞ en x₀ si

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

et −∞ si

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Lorsque la définition est vérifiée, on peut écrire

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Que nous dit la définition ? La variable K représente, dans la première définition, une sorte de seuil sur l’axe des ordonnées. La définition dit que, quelle que soit la hauteur du seuil K que l’on choisit, on trouve toujours un voisinage épointé de rayon δ du point x₀ tel que tous les éléments de ce voisinage aient une image supérieure à K.

À titre d’exemple, essayons d’appliquer la définition à la fonction précédente – nous cherchons la limite au point x₀ = 0. Choisissons K = 4 :

Il faut maintenant trouver une valeur de δ telle que tous les points de l’ensemble ]−δ ; 0[ ∪ ]0 ; δ[ aient une image supérieure à K. On peut choisir par exemple δ = 0,2. En représentant cela sur la figure, on obtient :

On voit que les images des points de l’ensemble ]−δ ; 0[ ∪ ]0 ; δ[ se trouvent au-dessus de la valeur K. On peut aussi le calculer. Pour x = −0,2, on obtient f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. La fonction est strictement croissante sur l’ensemble des réels strictement négatifs, donc pour tous les x de l’intervalle ]−0,2 ; 0[, l’image sera certainement supérieure à cinq, donc aussi à K = 4. De même pour le second intervalle.

Nous ne l’avons montré que pour un K précis. Pour que la fonction ait pour limite plus l’infini, cela doit être vrai pour n’importe quel K. Essayons de le démontrer. Comme f(x) = f(−x) (la fonction est paire), il suffit de travailler avec la partie positive, c’est-à-dire de nous limiter à l’intervalle ]0 ; +∞[.

On se donne un K et il faut trouver un δ tel que, pour tout x ∈ ]0 ; δ[, on ait f(x) > K. Comme la fonction est strictement décroissante sur l’intervalle des nombres strictement positifs, il suffit de trouver un δ tel que f(δ) > K. Cela sera alors certainement vrai pour tous les x ∈ ]0 ; δ[. Résolvons maintenant cette inéquation : f(δ) > K, ce qui donne après substitution :

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Multiplions maintenant toute l’inégalité par δ. D’après la définition, la valeur δ est toujours strictement positive, donc on peut se le permettre. On obtient :

$$1>\delta \cdot K$$

Supposons maintenant que K > 0. Pour K ≤ 0, la démonstration est triviale, car f(x) > 0 pour tout x. On peut maintenant diviser toute l’inégalité par K :

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

C’est le résultat. Si l’on nous donne K, on trouve la valeur de δ en prenant n’importe quel nombre inférieur à 1/K (et strictement supérieur à zéro, d’après la définition), et l’on obtient notre intervalle ]0 ; δ[.

Dans le cas précédent, nous avions K = 4. Si l’on remplace, on trouve que 1/4>δ. Le nombre δ doit être inférieur à un quart. Nous avons choisi 0,2, un cinquième, et cela a bien fonctionné.