Végtelen határérték véges pontban

A függvény határértéke a matematikai analízis egyik legfontosabb fogalma. Egy függvény viselkedését írja le egy adott pont környezetében, aminek köszönhetően például definiálhatjuk a függvény folytonosságát. A függvény határértéke segít megérteni a függvény viselkedését azokon a helyeken is, ahol egyáltalán nincs értelmezve.

Végtelen határérték véges pontban

Az előző részben a véges pontban vett véges határértékről beszéltünk. Az x₀ pont véges, ha x₀ ∈ ℝ, vagyis ha valós szám. Pontnak azonban a végtelent is tekinthetjük – az ilyen pontot végtelennek nevezzük. Megkülönböztetjük a plusz és a mínusz végtelent: +∞, −∞. A véges pontban vett végtelen határérték tehát azt jelenti, hogy van egy f függvényünk, egy véges x₀ pontunk, és a határérték ebben a pontban végtelen. Ilyen függvény például az $f(x)=|\frac{1}{x}|$. A grafikon:

Az x₀ = 0 véges pontban a függvény határértéke plusz végtelen – bármelyik oldalról is közelítünk x₀-hoz, az érték mindig a végtelenbe nő. Legyen x₀ az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. Az f függvény határértéke az x₀ pontban +∞, ha

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

és −∞, ha

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Ha a definíció teljesül, felírhatjuk, hogy

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Mit mond nekünk a definíció? Az első definícióban a K változó egyfajta határt jelöl az y tengelyen. A definíció azt mondja, hogy akármilyen nagy (magas) K határt választunk, mindig találunk az x₀ pontnak valamilyen pontozott δ-környezetét úgy, hogy ennek a környezetnek minden elemére igaz lesz, hogy a függvényértéke nagyobb K-nál.

Példaként próbáljuk megmutatni a definíciót az előző függvényen – az x₀ = 0 pontban keressük a határértéket. Válasszuk a K = 4 értéket:

Most olyan δ értéket kell találnunk, hogy a ]−δ; 0[ ∪ ]0; δ[ intervallum minden pontjában a függvényérték nagyobb legyen K-nál. Választhatjuk például a δ = 0,2 értéket. Ha ezt berajzoljuk az ábrába, ezt kapjuk:

Látjuk, hogy a ]−δ; 0[ ∪ ]0; δ[ intervallumban lévő függvényértékek a K érték felett vannak. Ki is számolhatjuk. Az x = −0,2 értékre f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. A függvény a negatív számok között szigorúan monoton növekvő, ezért a ]−0,2; 0[ intervallum minden x értékére a függvényérték biztosan nagyobb ötnél, tehát nagyobb a K = 4 értéknél is. A másik intervallumra hasonlóan.

Most ezt csak egy konkrét K-ra mutattuk meg. Ha azt akarjuk, hogy a függvény határértéke plusz végtelen legyen, ennek minden K-ra teljesülnie kell. Próbáljuk bebizonyítani. Mivel f(x) = f(−x) (a függvény páros), elég, ha csak a pozitív változattal számolunk, vagyis a ]0; +∞[ intervallumra szorítkozunk.

Adott valamilyen K, és olyan δ-t kell találnunk, hogy minden x ∈ ]0; δ[ esetén f(x) > K legyen. Mivel a függvény a pozitív intervallumon szigorúan monoton csökkenő, elég olyan δ-t találnunk, amelyre f(δ) > K. Akkor ez biztosan igaz lesz minden x ∈ ]0; δ[ esetén is. Most az f(δ) > K egyenlőtlenséget oldjuk meg, behelyettesítés után:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Az egész egyenlőtlenséget megszorozzuk δ-val. A δ értéke a definíció szerint mindig pozitív, ezért megtehetjük. Azt kapjuk, hogy:

$$1>\delta \cdot K$$

Tegyük fel most, hogy K > 0. K ≤ 0 esetén a bizonyítás triviális, mert f(x) > 0 minden x-re. Most az egész egyenlőtlenséget elosztjuk K-val:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Ez az eredmény. Ha adott a K, a δ értékét úgy találjuk meg, hogy veszünk bármilyen számot, amely kisebb az 1/K értéknél (és nagyobb nullánál, a definíció szerint), és megkapjuk a ]0; δ[ intervallumunkat.

Az előző esetben K = 4 volt. Ha behelyettesítünk, azt találjuk, hogy 1/4>δ. A deltának kisebbnek kell lennie egynegyednél. Mi a 0,2 értéket, az egyötödöt választottuk, és helyesen jött ki.