Άπειρο όριο σε πραγματικό αριθμό

Το όριο συνάρτησης είναι μία από τις σημαντικότερες έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Περιγράφει τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο και χάρη σε αυτό μπορούμε για παράδειγμα να ορίσουμε τη συνέχεια της συνάρτησης. Το όριο συνάρτησης μας βοηθά να καταλάβουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης ακόμη και σε σημεία στα οποία δεν ορίζεται καθόλου.

Άπειρο όριο σε πραγματικό αριθμό

Στο προηγούμενο μέρος μιλήσαμε για το πεπερασμένο όριο σε πραγματικό αριθμό. Εκεί το σημείο x₀ ήταν πραγματικός αριθμός, δηλαδή x₀ ∈ ℝ. Ως σημείο όμως μπορούμε να εννοούμε και το άπειρο – ένα τέτοιο σημείο το λέμε τότε σημείο στο άπειρο. Ξεχωρίζουμε το συν και το μείον άπειρο: +∞, −∞. Άπειρο όριο σε πραγματικό αριθμό σημαίνει λοιπόν ότι έχουμε κάποια συνάρτηση f, έναν πραγματικό αριθμό x₀ και το όριο σε αυτό το σημείο μας βγαίνει άπειρο. Παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης μπορεί να είναι η $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Γραφική παράσταση:

Στον πραγματικό αριθμό x₀ = 0 η συνάρτηση έχει όριο συν άπειρο – από όποια πλευρά κι αν πλησιάσουμε το x₀, η τιμή αυξάνεται πάντα προς το άπειρο. Έστω ότι το x₀ είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f. Η συνάρτηση f έχει στο σημείο x₀ όριο +∞, αν

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

και −∞ αν

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Αν ο ορισμός ικανοποιείται, μπορούμε να γράψουμε

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Τι μας λέει ο ορισμός; Η μεταβλητή K παριστάνει, στον πρώτο ορισμό, ένα είδος φράγματος στον άξονα y. Ο ορισμός λέει ότι όσο μεγάλο (ψηλό) φράγμα K κι αν διαλέξουμε, θα βρούμε πάντα κάποια δ-περιοχή του σημείου x₀ χωρίς το x₀ και για όλα τα στοιχεία αυτής της περιοχής θα ισχύει ότι έχουν τιμή συνάρτησης μεγαλύτερη από K.

Για παράδειγμα θα δοκιμάσουμε να δείξουμε τον ορισμό στην προηγούμενη συνάρτηση – θα ψάξουμε το όριο στο σημείο x₀ = 0. Διαλέγουμε K = 4:

Τώρα πρέπει να βρούμε τέτοια τιμή του δ, ώστε όλα τα σημεία του διαστήματος (−δ, 0) ∪ (0, δ) να έχουν τιμή συνάρτησης μεγαλύτερη από K. Μπορούμε να διαλέξουμε για παράδειγμα δ = 0,2. Αν το σχεδιάσουμε στο σχήμα, παίρνουμε:

Βλέπουμε ότι οι τιμές της συνάρτησης που βρίσκονται στο διάστημα (−δ, 0) ∪ (0, δ) βρίσκονται πάνω από την τιμή K. Μπορούμε και να το υπολογίσουμε. Για την τιμή x = −0,2 παίρνουμε f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Η συνάρτηση στους αρνητικούς αριθμούς είναι γνησίως αύξουσα, επομένως για όλα τα x από το διάστημα (−0,2; 0) η τιμή της συνάρτησης θα είναι σίγουρα μεγαλύτερη από πέντε και άρα και μεγαλύτερη από K = 4. Αντίστοιχα για το δεύτερο διάστημα.

Τώρα το δείξαμε μόνο για ένα συγκεκριμένο K. Για να έχει η συνάρτηση όριο συν άπειρο, πρέπει να ισχύει για οποιοδήποτε K. Ας δοκιμάσουμε να το αποδείξουμε. Επειδή f(x) = f(−x) (η συνάρτηση είναι άρτια), αρκεί να δουλέψουμε μόνο με τη θετική περίπτωση, δηλαδή να περιοριστούμε στο διάστημα (0, +∞).

Έχουμε δοσμένο κάποιο K και πρέπει να βρούμε τέτοιο δ ώστε για όλα τα x ∈ (0, δ) να ισχύει f(x) > K. Επειδή η συνάρτηση στο θετικό διάστημα είναι γνησίως φθίνουσα, αρκεί να βρούμε τέτοιο δ για το οποίο ισχύει f(δ) > K. Τότε θα ισχύει σίγουρα και για όλα τα x ∈ (0, δ). Τώρα λύνουμε αυτή την ανίσωση: f(δ) > K, μετά την αντικατάσταση:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Τώρα πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την ανίσωση με δ. Η τιμή δ είναι από τον ορισμό πάντα θετική, οπότε μπορούμε να το κάνουμε. Παίρνουμε:

$$1>\delta \cdot K$$

Ας θεωρήσουμε τώρα ότι K > 0. Για K ≤ 0 η απόδειξη είναι τετριμμένη, γιατί f(x) > 0 για όλα τα x. Τώρα μπορούμε να διαιρέσουμε ολόκληρη την ανίσωση με K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Αυτό είναι το αποτέλεσμα. Αν έχουμε δοσμένο το K, την τιμή δ τη βρίσκουμε παίρνοντας οποιονδήποτε αριθμό είναι μικρότερος από την τιμή 1/K (και μεγαλύτερος από μηδέν, σύμφωνα με τον ορισμό) και παίρνουμε το διάστημά μας (0, δ).

Στην προηγούμενη περίπτωση είχαμε K = 4. Αν αντικαταστήσουμε, βρίσκουμε ότι 1/4>δ. Το δέλτα πρέπει να είναι μικρότερο από ένα τέταρτο. Εμείς διαλέξαμε 0,2, ένα πέμπτο, και βγήκε σωστά.