Безкрайна граница в крайна точка

Границата на функция е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Тя описва поведението на дадена функция в околност на определена точка, благодарение на което можем например да определим непрекъснатост на функция. Границата на функция ни помага да разберем поведението на функцията и на места, в които изобщо не е определена.

Безкрайна граница в крайна точка

В предишната част говорихме за крайна граница в крайна точка. Точката x₀ е крайна, ако x₀ ∈ ℝ, т.е. ако е реално число. Но под точка можем да разбираме и безкрайност – такава точка наричаме безкрайна. Различаваме плюс и минус безкрайност: +∞, −∞. Безкрайна граница в крайна точка означава, че имаме някоя функция f, крайна точка x₀ и границата в тази точка се оказва безкрайност. Пример за такава функция е $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Графика:

В крайната точка x₀ = 0 функцията има граница плюс безкрайност – от която и страна да се приближаваме към x₀, стойността винаги расте до безкрайност. Нека x₀ е точка на сгъстяване на дефиниционното множество на функцията f. Функцията f има в точката x₀ граница +∞, ако

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

и −∞, ако

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Ако определението е изпълнено, можем да запишем

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Какво ни казва определението? Променливата K представлява, в първото определение, някакъв праг върху оста y. Определението казва, че колкото и голям (висок) праг K да изберем, винаги ще намерим пробита δ-околност на точката x₀, в която всички елементи имат стойност на функцията, по-голяма от K.

За пример нека покажем определението върху предишната функция – ще търсим границата в точката x₀ = 0. Избираме K = 4:

Сега трябва да намерим такава стойност δ, че всички точки от интервала (−δ; 0) ∪ (0; δ) да имат стойност на функцията, по-голяма от K. Можем да изберем например δ = 0,2. Когато го нанесем на чертежа, получаваме:

Виждаме, че стойностите на функцията, които са в интервала (−δ; 0) ∪ (0; δ), са над стойността K. Можем и да го пресметнем. За стойността x = −0,2 получаваме f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Функцията е растяща в отрицателните числа, така че за всяко x от интервала (−0,2; 0) стойността на функцията със сигурност е по-голяма от пет и следователно и от K = 4. Аналогично за втория интервал.

Сега показахме това само за едно конкретно K. За да има функцията граница плюс безкрайност, това трябва да е изпълнено за всяко K. Нека опитаме да го докажем. Тъй като f(x) = f(−x) (функцията е четна), е достатъчно да работим само с положителния случай, т.е. да се ограничим до интервала (0; +∞).

Имаме дадено някое K и трябва да намерим такова δ, че за всяко x ∈ (0; δ) да е изпълнено f(x) > K. Тъй като функцията в положителния интервал е намаляваща, е достатъчно да намерим такова δ, за което f(δ) > K. Тогава със сигурност ще е изпълнено и за всяко x ∈ (0; δ). Сега решаваме това неравенство: f(δ) > K, след заместване:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Умножаваме цялото неравенство по δ. Стойността δ по определение винаги е положителна, така че можем да си го позволим. Получаваме:

$$1>\delta \cdot K$$

Нека сега K > 0. За K ≤ 0 доказателството е тривиално, защото f(x) > 0 за всяко x. Сега можем да разделим цялото неравенство на K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Това е резултатът. Ако имаме зададено K, стойността на δ намираме, като вземем произволно число, по-малко от 1/K (и по-голямо от нула, според определението), и получаваме нашия интервал (0; δ).

В предишния случай имахме K = 4. Ако заместим, виждаме, че 1/4>δ. Делтата трябва да е по-малка от една четвърт. Ние избрахме 0,2, една пета, и се получи правилно.