Limite infinito em um ponto finito

O limite de uma função é um dos conceitos mais importantes da análise matemática. Ele descreve o comportamento de uma função na vizinhança de um determinado ponto, e graças a isso podemos definir, por exemplo, a continuidade de uma função. O limite de uma função nos ajuda a entender o comportamento da função até mesmo em lugares nos quais ela nem sequer está definida.

Limite infinito em um ponto finito

Na parte anterior falamos do limite finito em um ponto finito. O ponto x₀ é finito se x₀ ∈ ℝ, ou seja, se é um número real. Mas por ponto podemos entender também o infinito — chamamos um ponto assim de ponto infinito. Distinguimos mais e menos infinito: +∞, −∞. O limite infinito em um ponto finito significa, então, que temos uma função f, um ponto finito x₀, e que o limite nesse ponto resulta em infinito. Um exemplo de função assim pode ser $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Gráfico:

No ponto finito x₀ = 0 a função tem limite mais infinito — por qualquer lado que nos aproximemos de x₀, o valor sempre cresce até o infinito. Seja x₀ um ponto de acumulação do domínio da função f. A função f tem no ponto x₀ limite +∞ se

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

e −∞ se

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Se a definição é satisfeita, podemos escrever

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

O que a definição nos diz? A variável K representa, na primeira definição, uma espécie de cota no eixo y. A definição diz, então, que, por maior (mais alta) que seja a cota K que escolhamos, sempre encontraremos alguma vizinhança perfurada de raio δ do ponto x₀ tal que, para todos os elementos dessa vizinhança, o valor da função é maior que K.

Como exemplo, vamos tentar mostrar a definição na função anterior — procuraremos o limite no ponto x₀ = 0. Escolhemos K = 4:

Agora precisamos encontrar um valor de δ tal que todos os pontos do intervalo ]−δ, 0[ ∪ ]0, δ[ tenham valor da função maior que K. Podemos escolher, por exemplo, δ = 0,2. Se desenharmos isso na figura, obtemos:

Vemos que os valores da função que estão no intervalo ]−δ, 0[ ∪ ]0, δ[ se encontram acima do valor K. Podemos também calcular. Para o valor x = −0,2 obtemos f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. A função é estritamente crescente nos números negativos, de modo que, para todos os x do intervalo ]−0,2; 0[, o valor da função certamente será maior que cinco e, portanto, também maior que K = 4. De modo semelhante para o segundo intervalo.

Agora mostramos isso apenas para um K concreto. Para que a função tenha limite mais infinito, isso deve valer para qualquer K. Vamos tentar demonstrar. Como f(x) = f(−x) (a função é par), basta calcularmos apenas com a variante positiva, ou seja, nos restringirmos ao intervalo ]0, +∞[.

É dado algum K, e precisamos encontrar um δ tal que, para todos os x ∈ ]0, δ[, valha f(x) > K. Como a função é estritamente decrescente no intervalo positivo, basta encontrarmos um δ para o qual valha f(δ) > K. Então isso valerá certamente também para todos os x ∈ ]0, δ[. Agora resolvemos esta inequação: f(δ) > K, após a substituição:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Agora multiplicamos a inequação inteira por δ. O valor de δ é, pela definição, sempre positivo, então podemos nos permitir isso. Obtemos:

$$1>\delta \cdot K$$

Consideremos agora que K > 0. Para K ≤ 0 a demonstração é trivial, porque f(x) > 0 para todos os x. Agora podemos dividir a inequação inteira por K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Esse é o resultado. Dado K, encontramos o valor de δ tomando qualquer número menor que o valor 1/K (e maior que zero, pela definição), e assim obtemos o nosso intervalo ]0, δ[.

No caso anterior tínhamos K = 4. Se substituirmos, descobrimos que 1/4>δ. O delta deve ser menor que um quarto. Nós escolhemos 0,2, um quinto, e deu certo.