Ääretön raja-arvo äärellisessä pisteessä

Funktion raja-arvo on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Se kuvaa jonkin funktion käyttäytymistä tietyn pisteen ympäristössä, minkä avulla voidaan esimerkiksi määritellä funktion jatkuvuus. Funktion raja-arvo auttaa ymmärtämään funktion käyttäytymistä myös sellaisissa kohdissa, joissa sitä ei ole lainkaan määritelty.

Ääretön raja-arvo äärellisessä pisteessä

Edellisessä osassa puhuttiin äärellisestä raja-arvosta äärellisessä pisteessä. Piste x₀ on äärellinen, jos x₀ ∈ ℝ, eli jos se on reaaliluku. Pisteellä voidaan kuitenkin tarkoittaa myös ääretöntä – tällaista pistettä kutsutaan äärettömäksi. Plus ja miinus ääretön erotetaan: +∞, −∞. Ääretön raja-arvo äärellisessä pisteessä tarkoittaa siis, että on jokin funktio f, äärellinen piste x₀ ja raja-arvoksi tässä pisteessä tulee ääretön. Esimerkki tällaisesta funktiosta on $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Kuvaaja:

Äärellisessä pisteessä x₀ = 0 funktion raja-arvo on plus ääretön – kummalta puolelta tahansa pistettä x₀ lähestytäänkin, arvo kasvaa aina äärettömyyteen. Olkoon x₀ funktion f määrittelyjoukon M kasautumispiste. Funktion f raja-arvo pisteessä x₀ on +∞, jos

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in M)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

ja −∞, jos

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in M)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Jos määritelmä toteutuu, voidaan kirjoittaa

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Mitä määritelmä kertoo? Muuttuja K edustaa ensimmäisessä määritelmässä jonkinlaista rajaa y-akselilla. Määritelmä sanoo, että kuinka suuren (korkean) rajan K tahansa valitaankin, löytyy aina jokin pisteen x₀ puhkaistu δ-ympäristö, jonka kaikkien alkioiden funktion arvo on suurempi kuin K.

Esimerkkinä yritetään osoittaa määritelmä edellisellä funktiolla – haetaan raja-arvoa pisteessä x₀ = 0. Valitaan K = 4:

Nyt täytyy löytää sellainen arvo δ, että kaikilla välin ]−δ, 0[ ∪ ]0, δ[ pisteillä funktion arvo on suurempi kuin K. Voidaan valita esimerkiksi δ = 0,2. Kun tämä piirretään kuvaan, saadaan:

Nähdään, että funktion arvot, jotka ovat välillä ]−δ, 0[ ∪ ]0, δ[, ovat arvon K yläpuolella. Sen voi myös laskea. Kun x = −0,2, saadaan f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funktio on aidosti kasvava negatiivisilla luvuilla, joten kaikilla välin ]−0,2; 0[ pisteillä x funktion arvo on varmasti suurempi kuin viisi ja siis myös suurempi kuin K = 4. Samoin toisella välillä.

Nyt tämä on osoitettu vain yhdelle tietylle K:lle. Jotta funktion raja-arvo olisi plus ääretön, sen täytyy päteä mille tahansa K:lle. Yritetään todistaa se. Koska f(x) = f(−x) (funktio on parillinen), riittää laskea vain positiivisella puolella, eli rajoittua välille ]0, ∞[.

Annettuna on jokin K, ja täytyy löytää sellainen δ, että kaikilla x ∈ ]0, δ[ pätee f(x) > K. Koska funktio on positiivisella välillä aidosti vähenevä, riittää löytää sellainen δ, jolle pätee f(δ) > K. Silloin se pätee varmasti myös kaikilla x ∈ ]0, δ[. Ratkaistaan nyt tämä epäyhtälö: f(δ) > K, sijoittamisen jälkeen:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Kerrotaan nyt koko epäyhtälö luvulla δ. Arvo δ on määritelmän mukaan aina positiivinen, joten se on sallittua. Saadaan:

$$1>\delta \cdot K$$

Oletetaan nyt, että K > 0. Kun K ≤ 0, todistus on triviaali, koska f(x) > 0 kaikilla x. Nyt koko epäyhtälö voidaan jakaa luvulla K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Tämä on tulos. Kun K on annettu, arvo δ löydetään valitsemalla mikä tahansa luku, joka on pienempi kuin arvo 1/K (ja suurempi kuin nolla, määritelmän mukaan), ja saadaan etsitty väli ]0, δ[.

Edellisessä tapauksessa oli K = 4. Kun sijoitetaan, huomataan, että 1/4>δ. Deltan täytyy olla pienempi kuin yksi neljäsosa. Valittiin 0,2 eli yksi viidesosa, ja se kelpasi.