Oändligt gränsvärde i en ändlig punkt

Gränsvärdet av en funktion är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Det beskriver hur en funktion beter sig nära en viss punkt, och med hjälp av det kan vi till exempel definiera kontinuitet. Gränsvärdet hjälper oss att förstå hur funktionen beter sig även på ställen där den inte alls är definierad.

Oändligt gränsvärde i en ändlig punkt

I den förra delen pratade vi om ändligt gränsvärde i en ändlig punkt. Punkten x₀ är ändlig om x₀ ∈ ℝ, dvs. om den är ett reellt tal. Men med en punkt kan vi också mena oändligheten – en sådan punkt kallar vi oändlig. Vi skiljer mellan plus och minus oändligheten: +∞, −∞. Oändligt gränsvärde i en ändlig punkt betyder alltså att vi har en funktion f och en ändlig punkt x₀, och gränsvärdet i den punkten blir oändligheten. Ett exempel på en sådan funktion är $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Grafen:

I den ändliga punkten x₀ = 0 har funktionen gränsvärdet plus oändligheten – från vilken sida vi än närmar oss x₀ växer värdet hela tiden mot oändligheten. Låt x₀ vara en hopningspunkt till definitionsmängden för funktionen f. Funktionen f har gränsvärdet +∞ i punkten x₀ om

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

och −∞ om

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Om definitionen är uppfylld kan vi skriva

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Vad säger definitionen oss? Variabeln K är, i den första definitionen, ett slags gräns på y-axeln. Definitionen säger att hur stor (hög) gräns K vi än väljer hittar vi alltid någon punkterad δ-omgivning av punkten x₀ sådan att alla element i den omgivningen har ett funktionsvärde som är större än K.

Som exempel prövar vi definitionen på den förra funktionen – vi söker gränsvärdet i punkten x₀ = 0. Vi väljer K = 4:

Nu måste vi hitta ett värde på δ sådant att alla punkter i intervallet ]−δ, 0[ ∪ ]0, δ[ har ett funktionsvärde som är större än K. Vi kan till exempel välja δ = 0,2. Om vi ritar in det i figuren får vi:

Vi ser att funktionsvärdena i intervallet ]−δ, 0[ ∪ ]0, δ[ ligger över värdet K. Vi kan också räkna ut det. För värdet x = −0,2 får vi f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funktionen är strängt växande för negativa tal, så för alla x i intervallet ]−0,2; 0[ är funktionsvärdet säkert större än fem och därmed också större än K = 4. På samma sätt för det andra intervallet.

Nu har vi bara visat det för ett enda bestämt K. För att funktionen ska ha gränsvärdet plus oändligheten måste det gälla för vilket K som helst. Vi försöker bevisa det. Eftersom f(x) = f(−x) (funktionen är jämn) räcker det att vi räknar med den positiva varianten, dvs. vi begränsar oss till intervallet ]0, +∞[.

Vi har ett givet K och måste hitta ett δ sådant att f(x) > K för alla x ∈ ]0, δ[. Eftersom funktionen är strängt avtagande i det positiva intervallet räcker det att vi hittar ett δ för vilket f(δ) > K. Då gäller det säkert också för alla x ∈ ]0, δ[. Nu löser vi den här olikheten: f(δ) > K, och efter insättning:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Vi multiplicerar hela olikheten med δ. Värdet δ är enligt definitionen alltid positivt, så det får vi göra. Vi får:

$$1>\delta \cdot K$$

Vi antar nu att K > 0. För K ≤ 0 är beviset trivialt, eftersom f(x) > 0 för alla x. Nu kan vi dividera hela olikheten med K:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Det är resultatet. Om vi har ett givet K hittar vi värdet på δ genom att ta vilket tal som helst som är mindre än värdet 1/K (och större än noll, enligt definitionen), och då får vi vårt intervall ]0, δ[.

I det förra fallet hade vi K = 4. Om vi sätter in det ser vi att 1/4>δ. Delta måste vara mindre än en fjärdedel. Vi valde 0,2, en femtedel, och det blev rätt.