Sonlu Noktada Sonsuz Limit

Fonksiyonun limiti, matematiksel analizin en önemli kavramlarından biridir. Bir fonksiyonun belirli bir noktanın çevresindeki davranışını anlatır; bu sayede örneğin fonksiyonun sürekliliğini tanımlayabiliriz. Limit, fonksiyonun hiç tanımlı olmadığı noktalardaki davranışını da anlamamıza yardımcı olur.

Sonlu Noktada Sonsuz Limit

Önceki bölümde sonlu noktada sonlu limitten söz ettik. x₀ noktası, x₀ ∈ ℝ ise, yani bir gerçek sayı ise sonludur. Ama nokta derken sonsuzu da kastedebiliriz — böyle bir noktaya sonsuz nokta deriz. Artı ve eksi sonsuzu ayırt ederiz: +∞, −∞. Sonlu noktada sonsuz limit, elimizde bir f fonksiyonu ve sonlu bir x₀ noktası olduğu ve bu noktadaki limitin sonsuz çıktığı anlamına gelir. Böyle bir fonksiyona örnek $f(x)=|\frac{1}{x}|$ olabilir. Grafik:

Sonlu x₀ = 0 noktasında fonksiyonun limiti artı sonsuzdur — x₀’a hangi taraftan yaklaşırsak yaklaşalım, değer her zaman sonsuza doğru artar. x₀, f fonksiyonunun tanım kümesinin yığılma noktası olsun. Aşağıdaki koşul sağlanıyorsa f fonksiyonunun x₀ noktasındaki limiti +∞’dur:

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \text{tanım kümesi})(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

şu koşul sağlanıyorsa ise −∞’dur:

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \text{tanım kümesi})(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

Tanım sağlanıyorsa şunu yazabiliriz:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

Tanım bize ne söylüyor? İlk tanımda K değişkeni, y ekseninde bir tür sınırı temsil eder. Tanım der ki: K sınırını ne kadar büyük (yüksek) seçersek seçelim, x₀ noktasının öyle bir delinmiş δ-komşuluğu buluruz ki bu komşuluktaki tüm elemanların fonksiyon değeri K’dan büyük olur.

Örnek olarak tanımı önceki fonksiyon üzerinde gösterelim — x₀ = 0 noktasındaki limiti arayacağız. K = 4 seçelim:

Şimdi öyle bir δ değeri bulmalıyız ki (−δ, 0) ∪ (0, δ) aralığındaki tüm noktaların fonksiyon değeri K’dan büyük olsun. Örneğin δ = 0,2 seçebiliriz. Bunu şekle çizersek şunu elde ederiz:

(−δ, 0) ∪ (0, δ) aralığındaki fonksiyon değerlerinin K değerinin üzerinde kaldığını görüyoruz. Bunu hesaplayarak da gösterebiliriz. x = −0,2 değeri için f(−0,2) = |−1/0,2| = 5 elde ederiz. Fonksiyon negatif sayılarda artan olduğundan, (−0,2; 0) aralığındaki tüm x değerleri için fonksiyon değeri kesinlikle beşten, dolayısıyla K = 4’ten de büyük olur. İkinci aralık için de benzer şekilde.

Şimdi bunu yalnızca belirli bir K için gösterdik. Fonksiyonun limiti artı sonsuz olacaksa, bu her K için sağlanmalıdır. İspatlamayı deneyelim. f(x) = f(−x) olduğundan (fonksiyon çifttir), yalnızca pozitif kısımla hesap yapmamız yeter, yani (0, ∞) aralığıyla sınırlanırız.

Verilmiş bir K var ve biz öyle bir δ bulmalıyız ki tüm x ∈ (0, δ) için f(x) > K olsun. Fonksiyon pozitif aralıkta azalan olduğundan, f(δ) > K sağlanan bir δ bulmamız yeter. O zaman bu, tüm x ∈ (0, δ) için de kesinlikle sağlanır. Şimdi şu eşitsizliği çözelim: f(δ) > K, yerine yazınca:

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

Eşitsizliğin her iki tarafını δ ile çarpalım. δ değeri tanım gereği her zaman pozitiftir, bu yüzden bunu yapabiliriz. Şunu elde ederiz:

$$1>\delta \cdot K$$

Şimdi K > 0 olduğunu varsayalım. K ≤ 0 için ispat basittir, çünkü tüm x için f(x) > 0 olur. Şimdi eşitsizliğin her iki tarafını K’ya bölebiliriz:

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

Sonuç budur. K verilmişse, δ değerini şöyle buluruz: 1/K değerinden küçük (ve tanım gereği sıfırdan büyük) herhangi bir sayıyı alırız ve (0, δ) aralığımızı elde ederiz.

Önceki durumda K = 4 idi. Yerine yazarsak 1/4>δ olduğunu görürüz. Delta dörtte birden küçük olmalıdır. Biz 0,2’yi, yani beşte biri seçtik ve doğru çıktı.