負の数のかけ算
負の数は少しイメージしにくいことがあります。とくに、かけ算になるとなおさらです。
負の数をイメージする
ふだんの生活で負の数に出会うことは、あまりありません。「ねえ、おばあちゃん、見て。あの丘の上に牛がマイナス8頭いるよ！」などと言う人はまずいないでしょう。それだけに、負の数のかけ算は説明しにくいのです。
ただ、だれにでも負の数がわかりやすい場面が少なくとも1つあります。家計、つまり収入と支出です。たとえば銀行口座の明細を見ると、次のような項目が並んでいます。
- +200,000 円：給料
- −3,280 円：スーパーでの買い物
- −6,500 円：1年分のガムの買いだめ
- +20,000 円：国からの「ごきげん手当」
- −65,000 円：家賃
お金が入ったときは金額にプラスの符号がつき、お金を使ったときはマイナスの符号がつきます。使ったお金は残高から引かれるからです。
このように、負の数は支出のようなものだと考えることができます。1,000円増えたら +1000、5,000円使ったら −5000 と書きます。お金でなくてもかまいません。かごからガムを6個取り出したら、−6 と表すことができます。
負の数に正の数をかける
では、積 7 · (−120) はいくつになるでしょうか。問題は、答えの符号がどうなるかです。答えが 840 か −840 のどちらかであることはわかるでしょう。どちらが正しいのか、どう考えればよいでしょうか。
ガム1個が 120 円で、それを 7 個買ったとします。7個のガムに全部でいくら使ったでしょうか。これは簡単で、7 · 120 = 840 円です。
ただし、これは実際に使ったお金で、もらったお金ではないので、マイナスの符号をつけます。答えを 840 のままにすると収入という意味になりますが、実際には支出です。したがって、7 · (−120) = −840 となります。
これも足し算に直せます。ガムを2個だけ買ったとしましょう。どちらも120円なので、家計簿には次のように書かれます。
- −120 円：ガム
- −120 円：ガム
これは 2 · (−120) と書けますし、支出を足して −120 + (−120) = −120 − 120 = −240 とすることもできます。まとめて次のように書けます。
- −240 円：ガム2個
正の数と負の数をかける（負の数と正の数をかけても同じです）ときは、負の数が1回分の支出を、正の数がその支出の回数を表すと考えられます。支出を足し合わせるのですから、結果も負の数になるはずです。
式の計算による説明
正の数と負の数をかけると負の数になることは、式の計算からも説明できます。5 · (4 − 4) を計算してみましょう。4 − 4 = 0 で 5 · 0 = 0 なので、答えは明らかに0です。一方、くくり出しやかっこのはずし方を知っていれば、この式は次のようにも書けます。
式を、形はちがっても同じ値をもつ式に書きかえました。もとの式 5 · (4 − 4) が0だったので、左辺もやはり0でなければなりません。ここで 5 · 4 = 20 を計算します。
残っているのは 5 · (−4) だけです。等式が成り立つためには、この式はいくつでなければならないでしょうか。20 に何を足せば0になるでしょうか。答えは −20 です。したがって、5 · (−4) の値は −20 しかありえません。ここでも、正の数と負の数の積は負の数になることがわかります。
負の数どうしの積
負の数どうしをかけると、正の数になります。一見ふしぎに思えますが、よく考えると納得できます。言葉でも同じことが起こります。二重否定です。「礼儀を欠いたふるまいはしません」という文には否定が2つ（「欠いた」と「しません」）ありますが、「礼儀正しくふるまいます」と同じことを言っています。（ただし、ここでは礼儀正しいか、礼儀を欠いているかのどちらかしかないと考えています。理屈のうえでは、どちらでもないこともありえます。）
簡単な説明は、次の節で、かばんを持った男の人の動きを使って紹介します。その前に、正の数と負の数の積の符号を表にまとめておきます。
動きを使った説明
負の数のかけ算は、動きを使うとうまく説明できます。数直線の原点に立っているところを想像しましょう。次のような感じです。
2つの数の積、たとえば 2 · 3 を考えます。この積を、かばんを持った男の人が数直線の上を動くようすで表します。1つ目の数を1歩の長さ、2つ目の数を歩数とします。つまり、積を 1歩の長さ · 歩数 と考えます。
ここでは負の数も考えます。1歩の長さが正なら男の人はふつうに前へ進み、負ならうしろ向きに下がります。歩数が正なら男の人は右を向き（上の図のように）、負なら左を向きます。
男の人がたどり着いた数が、その2つの数の積です。正の数と負の数のすべての組み合わせについて、どうなるか見てみましょう。
積 2 · 3 では、男の人は右を向いて前へ進みます。ます目2つ分の歩幅で、3歩前へ進みます。
男の人は 6 にたどり着くので、2 · 3 = 6 です。
次は積 −2 · 3 です。1つ目の数が負なので、今度はうしろ向きに下がります。一方、2つ目の数は正なので、右を向いています。つまり、男の人は右を向いたまま、うしろへ3歩下がります。
男の人は −6 にたどり着きました。−2 · 3 = −6 と一致します。
次は 2 · (−3) です。1つ目の数が正なので、男の人は前へ進みます。ところが2つ目の数が負なので、左を向いています。男の人は左を向いて、前へ3歩進みます。
男の人はまた −6 にたどり着きました。2 · (−3) = −6 と一致します。左を向いて前へ進んでも、右を向いてうしろへ下がっても、どちらの場合も負の数のほうへ行くことがわかります。
最後に、男の人に −2 · (−3) を計算してもらいます。左を向かせて、うしろへ3歩下がらせます。
少し意外かもしれませんが、男の人は 6 にたどり着きました。したがって −2 · (−3) = 6、つまり負の数どうしの積は正の数になるといえます。