Negatív számok szorzása
A negatív számok kicsit szokatlanok lehetnek, főleg, amikor a szorzatukra kerül a sor.
Hogyan képzeljük el a negatív számokat
A mindennapi életben negatív számokkal nem igazán találkozunk. Aligha mondja valaki, hogy „nézd, nagyi – ott a dombon mínusz nyolc tehén legel!” Annál nehezebb elmagyarázni a negatív számok szorzását.
Van viszont legalább egy eset, amikor a negatív számok mindenki számára világosak: a háztartási költségvetés, a bevételei és a kiadásai. Ha például megnézed a bankszámládat, ilyen tételeket látsz:
- +300 000 Ft: fizetés
- −26 000 Ft: bevásárlás a hipermarketben
- −14 000 Ft: egész évre elegendő rágógumi vásárlása
- +40 000 Ft: állami jókedv-támogatás
- −120 000 Ft: lakbér
Ha pénzt kapsz, az összeg előtt plusz jel áll, ha pénzt költesz, mínusz jel áll – mert a költött pénzt levonod az egyenlegedből.
A negatív számokat tehát elképzelhetjük kiadásként. Ha ezer forinttal gyarapodtunk, azt így írjuk fel: +1000, ha ötezret költöttünk, így: −5000. Nem kell, hogy csak pénzről legyen szó, ha hat rágógumit kiveszünk a kosárból, azt jelölhetjük −6-tal.
Negatív szám szorzása pozitívval
Mennyi lesz a 7 · (−300) szorzat? Lényegében az a kérdés, milyen előjele lesz az eredménynek. Valószínűleg világos, hogy az eredmény vagy 2100, vagy −2100. Hogyan indokoljuk meg a helyes eljárást?
Képzeljük el, hogy egy csomag rágógumi 300 Ft-ba kerül, és mi 7 csomagot vásárolunk. Most azt kérdezzük, mennyi pénzt költöttünk összesen erre a hét csomagra. Ez egyértelmű, 7 · 300 = 2100 Ft-ot költöttünk.
Mivel azonban ez olyan pénz, amelyet tényleg elköltöttünk, nem kaptuk, mínusz jelet teszünk elé. Ha a 2100 eredményt hagynánk, az azt jelentené, hogy bevételünk volt, pedig kiadásunk volt: ezért az eredmény 7 · (−300) = −2100.
Átvihetjük ezt összeadásra is: képzeljük el, hogy csak két csomag rágót vettünk. Mindkettő háromszáz forintba került, így a könyvelésünkben ez szerepelne:
- −300 Ft: rágógumi
- −300 Ft: rágógumi
Ezt felírhatjuk 2 · (−300) alakban, vagy összeadhatjuk a kiadásokat: −300 + (−300) = −300 − 300 = −600. Utána már egyszerűen felírhatjuk:
- −600 Ft: két csomag rágógumi
Amikor pozitív számot szorzunk negatívval (vagy negatívat pozitívval, az mindegy), elképzelhetjük úgy, hogy a negatív rész egy kiadást jelent, a pozitív szám pedig e kiadások számát. És mivel a kiadásokat adjuk össze, az eredménynek is negatívnak kell lennie.
Algebrai indoklás
Hogy pozitív és negatív szám szorzata negatív szám, algebrailag is megindokolható. Próbáljuk kiszámolni ezt a feladatot: 5 · (4 − 4). Az eredmény nyilván nulla, mert 4 − 4 = 0 és 5 · 0 = 0. Ha azonban ismerjük a kiemelést és a zárójel felbontását, az előző feladatot így is átírhatjuk:
A kifejezést egy másikra írtuk át, amely vele egyenértékű. Az egyenlet bal oldalának továbbra is nullával kell egyenlőnek lennie, mert az eredeti 5 · (4 − 4) kifejezés is nulla volt. Most kiszámoljuk a szorzatot: 5 · 4 = 20.
Most már csak az 5 · (−4) kifejezés marad. Ahhoz azonban, hogy az egyenlet érvényes maradjon, mivel kell egyenlőnek lennie ennek a kifejezésnek? Melyik számot kell hozzáadnunk a 20-hoz, hogy nullát kapjunk? A −20-at. Az 5 · (−4) kifejezés egyetlen lehetséges eredménye tehát a −20. Ismét azt látjuk, hogy pozitív és negatív szám szorzata negatív szám.
Két negatív szám szorzata
Két negatív szám szorzata pozitív számot ad. Első pillantásra furcsának tűnhet, de egész érthető. A beszédben is így működik, ha kettős tagadást használunk: a „nem leszünk udvariatlanok” közlésben két tagadás van, mégis ugyanazt mondja a mondat, mint az „udvariasak leszünk”. (Itt azonban feltételezzük, hogy csak udvariasak vagy udvariatlanok lehetünk. Elméletben persze lehetnénk se ilyenek, se olyanok.)
Egyszerű indoklást találsz a következő részben, a aktatáskás úr mozgásával. Most pedig következik egy áttekinthető táblázat arról, hogyan viszonyulnak a pozitív és negatív számok a szorzathoz:
Indoklás mozgással
A negatív tényezős szorzatot szépen el lehet magyarázni mozgással. Képzeljük el, hogy a számegyenes kezdőpontjában állunk. Valahogy így:
Legyen továbbá két szám szorzata, mondjuk 2 · 3. Ezt a szorzatot a számegyenesen a aktatáskás úr mozgásaként mutatjuk meg. Az első szám a lépés hosszát jelenti, a második a lépések számát, amelyeket az úr megtesz, tehát úgy is láthatjuk, mint a lépéshossz · lépésszám szorzatot.
Közben azonban figyelembe vesszük a negatív számokat is. Ha a lépés hossza pozitív, az úr rendesen előre megy, de ha a lépés hossza negatív, hátrafelé megy. Ha a lépések száma pozitív, az úr jobbra néz (mint a fenti ábrán), ha negatív, balra néz.
Amelyik számhoz a aktatáskás úr eljut, az a megadott számok szorzatának eredménye. Nézzük meg, hogyan alakul ez a pozitív és negatív számok minden kombinációjára.
A 2 · 3 szorzatnál az úr jobbra néz, és előre megy. Három lépést tesz meg előre, mindegyik két négyzet hosszú.
A aktatáskás úr a 6 számhoz jut, az eredmény tehát 2 · 3 = 6.
Most próbáljuk ki a −2 · 3 szorzatot. Az első szám negatív, ami azt jelenti, hogy most az úr hátrafelé megy. A második szám viszont pozitív, ezért jobbra néz. Az úr tehát jobbra néz, és három lépést tesz meg hátrafelé:
Látjuk, hogy a aktatáskás úr a −6 számhoz jutott, ami egyezik azzal, hogy −2 · 3 = −6.
Ezután próbáljuk ki a 2 · (−3) szorzatot. Az első szám pozitív, ezért az úr előre megy. A második szám viszont negatív, ezért az úr balra néz. Az úr balra néz, és három lépést tesz meg előre:
Az úr ismét a −6 számhoz jutott, ami megegyezik azzal, hogy 2 · (−3) = −6. Látható, hogy mindegy, balra néz és előre megy, vagy jobbra néz és hátrafelé megy – mindkét esetben a negatív számok közé jut.
Végül elküldjük az urat, hogy számolja ki a −2 · (−3) szorzatot, tehát balra fordítjuk, és hagyjuk, hogy három lépést menjen hátrafelé:
Az úr, talán kicsit meglepő módon, a 6 számhoz jutott. Elmondhatjuk tehát, hogy −2 · (−3) = 6, két negatív szám szorzata pozitív számmal egyenlő.
Fejezetek: Szorzás, Írásbeli szorzás, Negatív számok szorzása
