Negatiivisten lukujen kertolasku
Negatiiviset luvut voivat olla hieman epäintuitiivisia, etenkin kun vuorossa on niiden tulo.
Miten negatiivisia lukuja voi ajatella
Arjessa emme oikeastaan kohtaa negatiivisia lukuja. Harva sanoo ”hei, mummo, katso – tuolla mäellä on miinus kahdeksan lehmää!” Sitä vaikeampaa on selittää negatiivisten lukujen kertolasku.
On kuitenkin ainakin yksi tilanne, jossa negatiiviset luvut ovat kaikille selviä: kotitalouden budjetti eli tulot ja menot. Kun katsot esimerkiksi pankkitiliäsi, näet siellä rivejä kuten:
- +2 000 €: palkka
- −175 €: ruokaostokset hypermarketista
- −98 €: purukumit koko vuodeksi
- +250 €: valtion hyvänmielentuki
- −800 €: vuokra
Jos saat rahaa, summan edessä on plusmerkki. Jos käytät rahaa, edessä on miinusmerkki, koska käytetyt rahat vähennetään tilin saldosta.
Negatiivisia lukuja voi siis ajatella jonkinlaisena menona. Jos meille tuli sata euroa lisää, kirjoitamme sen +100, ja jos käytimme viisisataa euroa, kirjoitamme −500. Kyse ei ole välttämättä pelkästä rahasta: jos otamme korista kuusi purukumia, voimme merkitä sen −6.
Negatiivisen luvun kertominen positiivisella
Paljonko on 7 · (−2)? Kyse on lähinnä siitä, mikä merkki tuloksella on. On varmaan selvää, että tulos on joko 14 tai −14. Miten oikean vastauksen voi perustella?
Kuvitellaan, että yksi purukumipaketti maksaa 2 € ja ostamme niitä 7. Kysymme nyt, kuinka paljon rahaa käytimme yhteensä näihin seitsemään pakettiin. Se on selvä: käytimme 7 · 2 = 14 €.
Mutta koska tämä on rahaa, jonka todella käytimme emmekä saaneet, lisäämme eteen miinusmerkin. Jos jättäisimme tulokseksi 14, se tarkoittaisi, että kyseessä on tulomme, mutta se onkin menomme. Siksi tulos on 7 · (−2) = −14.
Voimme taas muuttaa asian yhteenlaskuksi: kuvitellaan, että ostimme vain kaksi purukumipakettia. Kumpikin maksoi kaksi euroa, joten kirjanpidossamme olisi
- −2 €: purukumi
- −2 €: purukumi
Voimme kirjoittaa tämän muodossa 2 · (−2) tai laskea menot yhteen: −2 + (−2) = −2 − 2 = −4. Sen jälkeen voimme kirjoittaa yksinkertaisesti:
- −4 €: kaksi purukumipakettia
Kun kerromme positiivisen luvun negatiivisella (tai negatiivisen positiivisella, se on yksi ja sama), voimme ajatella, että negatiivinen osa esittää jotakin menoa ja positiivinen luku näiden menojen lukumäärää. Ja koska laskemme menoja yhteen, tuloksen täytyy olla myös negatiivinen.
Algebrallinen perustelu
Sen, että positiivisen ja negatiivisen luvun tulo on negatiivinen, voi perustella myös algebrallisesti. Yritetään laskea tämä tehtävä: 5 · (4 − 4). Tulos on ilmeisesti nolla, koska 4 − 4 = 0 ja 5 · 0 = 0. Jos kuitenkin tunnemme yhteisen tekijän erottamisen ja sulkujen kertomisen auki, voimme kirjoittaa edellisen tehtävän myös näin:
Kirjoitimme lausekkeen toiseen, mutta yhtäpitävään muotoon. Yhtälön vasemman puolen täytyy edelleen olla nolla, koska alkuperäinen lauseke 5 · (4 − 4) oli myös nolla. Lasketaan nyt 5 · 4 = 20:
Nyt jäljellä on enää lauseke 5 · (−4). Minkä arvon sen täytyy saada, jotta yhtälö pysyy voimassa? Mikä luku on lisättävä lukuun 20, jotta saisimme nollan? Se on luku −20. Lausekkeen 5 · (−4) ainoa mahdollinen arvo on siis −20. Näemme jälleen, että positiivisen ja negatiivisen luvun tulo on negatiivinen luku.
Kahden negatiivisen luvun tulo
Kahden negatiivisen luvun tulo on positiivinen luku. Aluksi se voi tuntua oudolta, mutta se on varsin ymmärrettävää. Samoin toimii puhekin, jos käyttää kaksoiskieltoa: lauseessa ”emme ole epäkohteliaita” on kaksi kieltoa, mutta lause kertoo saman kuin lause ”olemme kohteliaita”. (Tässä oletamme kuitenkin, että voimme olla vain kohteliaita tai epäkohteliaita. Teoriassa emme välttämättä olisi kumpaakaan.)
Helpon perustelun löydät seuraavasta kohdasta, jossa salkkumies liikkuu lukusuoralla. Nyt vielä selkeä taulukko positiivisten ja negatiivisten lukujen tulojen merkeistä:
Perustelu liikkeellä
Negatiivisia tekijöitä sisältävän tulon voi selittää hyvin liikkeen avulla. Kuvitellaan, että seisomme lukusuoran origossa. Suunnilleen näin:
Olkoon sitten kahden luvun tulo, vaikkapa 2 · 3. Esitämme tämän tulon lukusuoralla salkkumiehen liikkeenä. Ensimmäinen luku on askeleen pituus ja toinen luku miehen ottamien askelten lukumäärä, joten tulon voi nähdä muodossa askeleen pituus · askelten lukumäärä.
Otamme kuitenkin huomioon myös negatiiviset luvut. Jos askeleen pituus on positiivinen, mies kulkee normaalisti eteenpäin, mutta jos askeleen pituus on negatiivinen, hän kulkee taaksepäin. Jos askelten lukumäärä on positiivinen, mies on käännetty oikealle (kuten yllä olevassa kuvassa), ja jos se on negatiivinen, hän on käännetty vasemmalle.
Mihin lukuun salkkumies päätyy, se on kyseisten lukujen tulo. Katsotaan, miten käy kaikilla positiivisten ja negatiivisten lukujen yhdistelmillä.
Tulossa 2 · 3 mies on käännetty oikealle ja kulkee eteenpäin. Hän ottaa siis kolme askelta eteenpäin, joiden pituus on kaksi ruutua.
Salkkumies päätyy lukuun 6, joten tulos on 2 · 3 = 6.
Kokeillaan nyt tuloa −2 · 3. Ensimmäinen luku on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että nyt mies kulkee taaksepäin. Toinen luku on kuitenkin positiivinen, joten hän katsoo oikealle. Mies katsoo siis oikealle ja ottaa kolme askelta taaksepäin:
Näemme, että salkkumies päätyi lukuun −6, mikä täsmää sen kanssa, että −2 · 3 = −6.
Seuraavaksi kokeillaan tuloa 2 · (−3). Ensimmäinen luku on positiivinen, joten mies kulkee eteenpäin. Toinen luku on kuitenkin negatiivinen, joten mies on käännetty vasemmalle. Mies katsoo vasemmalle ja ottaa kolme askelta eteenpäin:
Mies päätyi taas lukuun −6, mikä sopii siihen, että 2 · (−3) = −6. On nähtävissä, että on yhdentekevää, onko mies käännetty vasemmalle ja kulkeeko hän eteenpäin vai onko hän käännetty oikealle ja kulkeeko taaksepäin: kummassakin tapauksessa hän päätyy negatiivisiin lukuihin.
Viimeisenä lähetämme miehen laskemaan −2 · (−3), joten käännämme hänet vasemmalle ja annamme hänen kulkea kolme askelta taaksepäin:
Mies päätyi, ehkä hieman yllättäen, lukuun 6. Voimme siis sanoa, että −2 · (−3) = 6: kahden negatiivisen luvun tulo on positiivinen luku.
Luvut: Kertolasku, Kirjallinen kertolasku, Negatiivisten lukujen kertolasku
