Negatif Sayılarla Çarpma
Negatif sayılar biraz sezgiye aykırı olabilir, özellikle de çarpımlarına sıra geldiğinde.
Negatif Sayıları Nasıl Düşünürüz
Günlük hayatta negatif sayılarla pek karşılaşmayız. Herhalde kimse “Bak, babaanne — şu tepede eksi sekiz inek var!” demez. Bu yüzden negatif sayıların çarpımını açıklamak daha da zor.
Yine de negatif sayıların herkes için açık olduğu en az bir durum var: ev bütçesi, yani gelirler ve giderler. Örneğin banka hesabına baktığında şöyle kalemler görürsün:
- +35.000 TL: maaş
- −4.000 TL: marketten alışveriş
- −2.250 TL: bütün yıla yetecek sakız alışverişi
- +6.000 TL: devlet moral desteği
- −18.000 TL: kira
Para kazanırsan tutarın yanında artı işareti olur, para harcarsan eksi işareti olur — çünkü harcadığın parayı bakiyenden çıkarırsın.
Yani negatif sayıları bir tür harcama olarak düşünebiliriz. Bin lira daha kazandıysak bunu +1000 diye yazarız, beş bin lira harcadıysak −5000 diye yazarız. Mesele yalnızca para da değil; sepetten altı sakız alırsak bunu −6 diye gösterebiliriz.
Negatif Sayıyı Pozitif Sayıyla Çarpma
Peki 7 · (−20) çarpımının sonucu ne olur? Aslında mesele, sonucun işaretinin ne olacağı. Sonucun ya 140 ya da −140 olacağı herhalde açık. Hangisinin doğru olduğunu nasıl gerekçelendiririz?
Bir paket sakızın fiyatının 20 TL olduğunu ve bunlardan 7 paket aldığımızı düşünelim. Şimdi bu yedi paket sakız için toplam ne kadar para harcadığımızı soruyoruz. Bu açık, 7 · 20 = 140 TL harcadık.
Ama bu, gerçekten harcadığımız, kazanmadığımız bir para olduğu için önüne eksi işareti koyarız. Sonucu 140 olarak bıraksaydık bu bizim gelirimiz anlamına gelirdi, oysa o bizim harcamamız: bu yüzden sonuç 7 · (−20) = −140 olur.
Bunu yine toplamaya çevirebiliriz: yalnızca iki paket sakız aldığımızı düşünelim. İkisi de yirmi liraydı, yani muhasebemizde şöyle olurdu:
- −20 TL: sakız
- −20 TL: sakız
Bunu 2 · (−20) şeklinde yazabiliriz, ya da bu harcamaları toplayabiliriz: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Sonra da kolayca şunu yazabiliriz:
- −40 TL: iki paket sakız
Pozitif sayıyı negatif sayıyla (ya da negatif sayıyı pozitif sayıyla, fark etmez) çarptığımızda bunu şöyle düşünebiliriz: negatif kısım bir harcamayı, pozitif sayı da bu harcamaların sayısını gösterir. Harcamaları topladığımız için sonuç da negatif olmalıdır.
Cebirsel Gerekçe
Pozitif bir sayıyla negatif bir sayının çarpımının negatif olduğunu cebirsel olarak da gösterebiliriz. Şu işlemi hesaplamayı deneyelim: 5 · (4 − 4). Sonucun sıfır olduğu açık, çünkü 4 − 4 = 0 ve 5 · 0 = 0. Ama ortak çarpan parantezine almayı ve parantezi açmayı biliyorsak önceki işlemi şöyle de yazabiliriz:
İfadeyi başka, ama denk bir ifadeye çevirdik. Eşitliğin sol tarafı hâlâ sıfıra eşit olmalı, çünkü ilk ifade 5 · (4 − 4) de sıfıra eşitti. Şimdi 5 · 4 = 20 çarpımını hesaplayalım:
Artık geriye yalnızca 5 · (−4) ifadesi kaldı. Ama eşitliğin doğru kalması için bu ifade neye eşit olmalı? Sıfır elde etmek için 20 sayısına hangi sayıyı eklemeliyiz? O sayı −20’dir. Yani 5 · (−4) ifadesinin tek olası sonucu −20 sayısıdır. Böylece pozitif ve negatif sayının çarpımının negatif sayı verdiğini bir kez daha görüyoruz.
İki Negatif Sayının Çarpımı
İki negatif sayının çarpımı bize pozitif sayı verir. İlk bakışta tuhaf gelebilir, ama oldukça anlaşılırdır. Günlük dilde çift olumsuzlama kullandığında da durum aynıdır: “saygısız olmayacağız” duyurusunda iki olumsuzluk var, ama bu cümle bize “saygılı olacağız” cümlesiyle aynı şeyi söyler. (Burada yalnızca saygılı ya da saygısız olabileceğimizi varsayıyoruz. Teoride ikisinden biri olmak zorunda değiliz.)
Kolay bir gerekçeyi sonraki bölümde, çantalı adamın hareketinde bulacaksın. Şimdi de pozitif ve negatif sayıların çarpımda nasıl davrandığını gösteren özet bir tablo geliyor:
Hareketle Gerekçelendirme
Negatif çarpanların çarpımını hareket üzerinden güzelce açıklayabiliriz. Sayı doğrusunun başlangıç noktasında durduğumuzu düşünelim. Yaklaşık şöyle:
Şimdi iki sayının çarpımını alalım, mesela 2 · 3. Bu çarpımı sayı doğrusunda, çantalı adamın hareketi olarak göstereceğiz. Burada ilk sayı adım uzunluğunu, ikinci sayı adamın atacağı adım sayısını temsil edecek; yani bunu adım uzunluğu · adım sayısı çarpımı olarak görebiliriz.
Bu arada negatif sayıları da hesaba katacağız. Adım uzunluğu pozitifse adam normal şekilde ileri gider, adım uzunluğu negatifse geri geri gider. Adım sayısı pozitifse adamın yüzü sağa dönüktür (yukarıdaki şekildeki gibi), negatifse sola dönüktür.
Çantalı adam hangi sayıya varırsa, verilen sayıların çarpımının sonucu odur. Pozitif ve negatif sayıların tüm kombinasyonlarında ne olduğuna bakalım.
2 · 3 çarpımında adamın yüzü sağa dönüktür ve ileri gider. Böylece ileri doğru iki kare uzunluğunda üç adım atar.
Çantalı adam 6 sayısına varır, yani sonuç 2 · 3 = 6 olur.
Şimdi −2 · 3 çarpımını deneyelim. İlk sayı negatif, yani bu sefer adam geri geri gidecek. Ama ikinci sayı pozitif, yani yüzü sağa dönük olacak. Yani adam sağa bakar ve geri geri üç adım atar:
Çantalı adamın −6 sayısına vardığını görüyoruz; bu da −2 · 3 = −6 olmasıyla uyuyor.
Sonra 2 · (−3) çarpımını deneyelim. İlk sayı pozitif, yani adam ileri gidecek. Ama ikinci sayı negatif, yani adamın yüzü sola dönük olacak. Adam sola bakar ve ileri doğru üç adım atar:
Adam yine −6 sayısına geldi; bu da 2 · (−3) = −6 olmasıyla uyuyor. Adamın yüzü sola dönük olup ileri gitmesiyle yüzü sağa dönük olup geri geri gitmesi arasında fark olmadığı görülüyor — iki durumda da negatif sayılara varır.
Son olarak adamı −2 · (−3) hesaplamaya gönderelim; yani yüzünü sola çeviririz ve üç adım geri geri gitmesini sağlarız:
Adam, belki biraz şaşırtıcı biçimde, 6 sayısına vardı. Böylece −2 · (−3) = 6 diyebiliriz; iki negatif sayının çarpımı pozitif sayıya eşittir.
Bölümler: Çarpma, Alt Alta Çarpma, Negatif Sayılarla Çarpma
