Πολλαπλασιασμός αρνητικών αριθμών

Οι αρνητικοί αριθμοί μπορεί να είναι λίγο αντιδιαισθητικοί, ιδίως όταν έρθει η σειρά του γινομένου τους.

Πώς να φανταστείς τους αρνητικούς αριθμούς

Στην καθημερινή ζωή δεν συναντάμε και τόσο συχνά αρνητικούς αριθμούς. Σπάνια θα πει κανείς «κοίτα, γιαγιά – εκεί πάνω στον λόφο είναι μείον οκτώ αγελάδες!». Γι' αυτό είναι ακόμη πιο δύσκολο να εξηγηθεί ο πολλαπλασιασμός αρνητικών αριθμών.

Υπάρχει όμως τουλάχιστον μία περίπτωση όπου οι αρνητικοί αριθμοί είναι σε όλους ξεκάθαροι: ο οικογενειακός προϋπολογισμός, τα έσοδα και τα έξοδά του. Όταν για παράδειγμα κοιτάς τον τραπεζικό σου λογαριασμό, θα δεις εκεί κινήσεις όπως:

• +600 €: μισθός
• −70 €: αγορές στο σούπερ μάρκετ
• −40 €: τσίχλες για ολόκληρο τον χρόνο
• +100 €: κρατικό επίδομα καλής διάθεσης
• −320 €: ενοίκιο

Αν εισπράξεις κάποια χρήματα, δίπλα στο ποσό υπάρχει το πρόσημο συν, αν ξοδέψεις κάποια χρήματα, υπάρχει το πρόσημο μείον – επειδή αυτά τα χρήματα που ξόδεψες τα αφαιρείς από το υπόλοιπό σου.

Τους αρνητικούς αριθμούς μπορούμε λοιπόν να τους φανταστούμε ως κάποιο έξοδο. Αν μπήκαν στον λογαριασμό μας χίλια ευρώ, το γράφουμε ως +1000, αν ξοδέψαμε πέντε χιλιάδες, το γράφουμε ως −5000. Δεν χρειάζεται να είναι μόνο χρήματα, αν πάρουμε από το καλάθι έξι τσίχλες, μπορούμε να το σημειώσουμε ως −6.

Πολλαπλασιασμός αρνητικού αριθμού με θετικό

Ποιο λοιπόν θα είναι το αποτέλεσμα του γινομένου 7 · (−1); Ουσιαστικά το ζήτημα είναι ποιο πρόσημο θα έχει το αποτέλεσμα. Μάλλον είναι σαφές ότι το αποτέλεσμα θα είναι είτε 7 είτε −7. Πώς θα αιτιολογήσουμε τη σωστή απάντηση;

Ας φανταστούμε ότι ένα πακέτο τσίχλες κοστίζει 1 € και εμείς αγοράζουμε 7. Τώρα ρωτάμε πόσα χρήματα ξοδέψαμε συνολικά για αυτά τα επτά πακέτα τσίχλες. Αυτό είναι σαφές, ξοδέψαμε 7 · 1 = 7 €.

Επειδή όμως αυτά είναι χρήματα που πραγματικά ξοδέψαμε, δεν τα κερδίσαμε, προσθέτουμε εκεί το πρόσημο μείον. Αν αφήναμε το αποτέλεσμα 7, θα σήμαινε ότι είναι έσοδό μας, ενώ είναι έξοδό μας: γι' αυτό το αποτέλεσμα είναι 7 · (−1) = −7.

Μπορούμε να το μετατρέψουμε και πάλι σε πρόσθεση: ας φανταστούμε ότι αγοράσαμε μόνο δύο πακέτα τσίχλες. Και τα δύο κόστιζαν ένα ευρώ, οπότε στον λογαριασμό μας θα είχαμε

• −1 €: τσίχλες
• −1 €: τσίχλες

Αυτό μπορούμε να το ξαναγράψουμε ως 2 · (−1), ή μπορούμε να προσθέσουμε αυτά τα έξοδα: −1 + (−1) = −1 − 1 = −2. Τότε μπορούμε να γράψουμε απλά:

• −2 €: δύο πακέτα τσίχλες

Όταν πολλαπλασιάζουμε θετικό αριθμό με αρνητικό (ή αρνητικό με θετικό, είναι το ίδιο), μπορούμε να το φανταστούμε έτσι: ο αρνητικός αριθμός παριστάνει κάποιο έξοδο και ο θετικός αριθμός παριστάνει το πλήθος αυτών των εξόδων. Και επειδή προσθέτουμε έξοδα, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι κι αυτό αρνητικό.

Αλγεβρική αιτιολόγηση

Ότι ο πολλαπλασιασμός θετικού και αρνητικού αριθμού δίνει αρνητικό αριθμό, μπορεί να αιτιολογηθεί και αλγεβρικά. Ας δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε αυτή την άσκηση: 5 · (4 − 4). Προφανώς το αποτέλεσμα είναι μηδέν, επειδή 4 − 4 = 0 και 5 · 0 = 0. Ωστόσο, αν ξέρουμε την εξαγωγή κοινού παράγοντα και την επιμεριστική ιδιότητα, μπορούμε να ξαναγράψουμε την προηγούμενη άσκηση και ως εξής:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Ξαναγράψαμε την παράσταση σε μια άλλη, αλλά ισοδύναμη. Το πρώτο μέλος της εξίσωσης πρέπει να εξακολουθεί να ισούται με μηδέν, επειδή και η αρχική παράσταση 5 · (4 − 4) ήταν ίση με μηδέν. Τώρα πολλαπλασιάζουμε 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Τώρα μας μένει μόνο η παράσταση 5 · (−4). Για να παραμείνει όμως σωστή η εξίσωση, με τι πρέπει να ισούται αυτή η παράσταση; Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στον αριθμό 20 για να πάρουμε μηδέν; Είναι ο αριθμός −20. Το μοναδικό δυνατό αποτέλεσμα της παράστασης 5 · (−4) είναι λοιπόν ο αριθμός −20. Βλέπουμε έτσι πάλι ότι το γινόμενο θετικού και αρνητικού αριθμού δίνει αρνητικό αριθμό.

Γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών

Το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών μας δίνει θετικό αριθμό. Με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνεται περίεργο, αλλά είναι αρκετά κατανοητό. Έτσι λειτουργεί και στη γλώσσα, αν χρησιμοποιήσεις διπλή άρνηση: στη δήλωση «δεν θα είμαστε αγενείς» έχουμε δύο αρνήσεις, κι όμως αυτή η πρόταση μας λέει το ίδιο με την πρόταση «θα είμαστε ευγενικοί». (Εδώ όμως υποθέτουμε ότι μπορούμε να είμαστε μόνο ευγενικοί ή αγενείς. Θεωρητικά θα μπορούσαμε να μην είμαστε ούτε το ένα ούτε το άλλο.)

Μια εύκολη αιτιολόγηση θα βρεις στην επόμενη ενότητα με την κίνηση του κυρίου με τον χαρτοφύλακα. Τώρα ακολουθεί ένας ευανάγνωστος πίνακας με τις σχέσεις θετικών και αρνητικών αριθμών ως προς το γινόμενο:

$$\begin{array}{rcl}\text{θετικός}\cdot \text{θετικός}& =& \text{θετικός}\\ \text{θετικός}\cdot \text{αρνητικός}& =& \text{αρνητικός}\\ \text{αρνητικός}\cdot \text{θετικός}& =& \text{αρνητικός}\\ \text{αρνητικός}\cdot \text{αρνητικός}& =& \text{θετικός}\end{array}$$

Αιτιολόγηση με την κίνηση

Το γινόμενο με αρνητικούς παράγοντες μπορεί να εξηγηθεί όμορφα με την κίνηση. Ας φανταστούμε ότι στεκόμαστε στην αρχή του άξονα των πραγματικών αριθμών. Περίπου έτσι:

Έστω επίσης ένα γινόμενο δύο αριθμών, ας πούμε 2 · 3. Αυτό το γινόμενο θα το δείχνουμε στον άξονα ως κίνηση αυτού του κυρίου με τον χαρτοφύλακα. Ο πρώτος αριθμός θα παριστάνει το μήκος του βήματος και ο δεύτερος το πλήθος των βημάτων που κάνει ο κύριος, οπότε μπορούμε να το δούμε ως γινόμενο μήκος βήματος · πλήθος βημάτων.

Θα λάβουμε όμως υπόψη και τους αρνητικούς αριθμούς. Αν το μήκος του βήματος είναι θετικό, ο κύριος πηγαίνει κανονικά μπροστά, αν όμως το μήκος του βήματος είναι αρνητικό, πηγαίνει προς τα πίσω. Αν το πλήθος των βημάτων είναι θετικό, ο κύριος είναι γυρισμένος προς τα δεξιά (όπως στο σχήμα επάνω), αν είναι αρνητικό, είναι γυρισμένος προς τα αριστερά.

Σε ποιον αριθμό φτάσει ο κύριος με τον χαρτοφύλακα, αυτό είναι το αποτέλεσμα του γινομένου των δοσμένων αριθμών. Ας δούμε πώς θα βγει για όλους τους συνδυασμούς θετικών και αρνητικών αριθμών.

Για το γινόμενο 2 · 3 ο κύριος είναι γυρισμένος προς τα δεξιά και πηγαίνει μπροστά. Κάνει έτσι τρία βήματα μήκους δύο τετραγωνακίων προς τα μπροστά.

Ο κύριος με τον χαρτοφύλακα φτάνει στον αριθμό 6, το αποτέλεσμα είναι λοιπόν 2 · 3 = 6.

Τώρα θα δοκιμάσουμε το γινόμενο −2 · 3. Ο πρώτος αριθμός είναι αρνητικός, που σημαίνει ότι τώρα ο κύριος θα πηγαίνει προς τα πίσω. Ο δεύτερος αριθμός όμως είναι θετικός, οπότε θα κοιτάζει προς τα δεξιά. Ο κύριος λοιπόν κοιτάζει προς τα δεξιά και κάνει τρία βήματα προς τα πίσω:

Βλέπουμε ότι ο κύριος με τον χαρτοφύλακα έφτασε στον αριθμό −6, που συμφωνεί με το ότι −2 · 3 = −6.

Στη συνέχεια δοκιμάζουμε το 2 · (−3). Ο πρώτος αριθμός είναι θετικός, οπότε ο κύριος θα πηγαίνει μπροστά. Ο δεύτερος αριθμός όμως είναι αρνητικός, οπότε ο κύριος θα είναι γυρισμένος προς τα αριστερά. Ο κύριος θα κοιτάζει προς τα αριστερά και θα κάνει τρία βήματα μπροστά:

Ο κύριος έφτασε πάλι στον αριθμό −6, που συμφωνεί με το ότι 2 · (−3) = −6. Φαίνεται ότι δεν έχει σημασία αν ο κύριος είναι γυρισμένος προς τα αριστερά και πηγαίνει μπροστά ή αν είναι γυρισμένος προς τα δεξιά και πηγαίνει προς τα πίσω – και στις δύο περιπτώσεις καταλήγει στους αρνητικούς αριθμούς.

Τελευταία φορά στέλνουμε τον κύριο να υπολογίσει το −2 · (−3), οπότε τον γυρίζουμε προς τα αριστερά και τον αφήνουμε να πάει προς τα πίσω τρία βήματα:

Ο κύριος, ίσως λίγο παραδόξως, έφτασε στον αριθμό 6. Μπορούμε έτσι να πούμε ότι −2 · (−3) = 6, το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών ισούται με θετικό αριθμό.