Multiplikasjon av negative tall

Negative tall kan være litt uintuitive, særlig når det er snakk om produktet av dem.

Hvordan kan du forestille deg negative tall

I hverdagen møter vi ikke negative tall så ofte. Det er nok få som sier «se, bestemor — der oppe på bakken står det minus åtte kyr!» Desto vanskeligere er det å forklare multiplikasjon av negative tall.

Men det finnes minst ett tilfelle der negative tall er klare for alle: privatøkonomien, med inntekter og utgifter. Hvis du for eksempel ser på bankkontoen din, ser du poster som:

• +40 000 kr: utbetalt lønn
• −1753 kr: handel i dagligvarebutikken
• −980 kr: kjøp av tyggegummi for et helt år
• +2500 kr: statlig tilskudd til godt humør
• −12 000 kr: husleie

Hvis du får penger, står det et plusstegn foran beløpet, og hvis du bruker penger, står det et minustegn — fordi du trekker pengene du har brukt, fra saldoen din.

Vi kan altså tenke på negative tall som en utgift. Hvis vi har fått tusen kroner mer, skriver vi det som +1000, og hvis vi har brukt fem tusen kroner, skriver vi det som −5000. Det trenger ikke bare å være penger. Hvis vi tar seks tyggegummier fra kurven, kan vi skrive det som −6.

Multiplikasjon av et negativt tall med et positivt

Hva blir resultatet av produktet 7 · (−20)? Spørsmålet er egentlig hvilket fortegn resultatet får. Det er nok klart at resultatet blir enten 140 eller −140. Hvordan kan vi begrunne den riktige framgangsmåten?

La oss tenke oss at én pakke tyggegummi koster 20 kr og at vi kjøper 7 av dem. Nå spør vi hvor mye penger vi til sammen brukte på disse sju pakkene. Det er klart, vi brukte 7 · 20 = 140 kr.

Men siden dette er penger vi faktisk har brukt, ikke penger vi har fått, setter vi på et minustegn. Hvis vi lot resultatet være 140, ville det bety at det er en inntekt, men det er jo en utgift: derfor er resultatet 7 · (−20) = −140.

Vi kan igjen gjøre det om til addisjon: La oss tenke oss at vi bare kjøpte to pakker tyggegummi. Begge kostet tjue kroner, så i regnskapet vårt ville det stå

• −20 kr: tyggegummi
• −20 kr: tyggegummi

Det kan vi skrive om til 2 · (−20), eller vi kan legge sammen utgiftene: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Da kan vi bare skrive:

• −40 kr: to pakker tyggegummi

Når vi multipliserer et positivt tall med et negativt (eller et negativt med et positivt, det er det samme), kan vi tenke oss at det negative tallet er en utgift og det positive tallet er antall slike utgifter. Og siden vi legger sammen utgifter, må resultatet også bli negativt.

Begrunnelse med algebra

At multiplikasjon av et positivt og et negativt tall gir et negativt tall, kan vi også begrunne med algebra. La oss prøve å regne ut dette eksempelet: 5 · (4 − 4). Resultatet er åpenbart null, fordi 4 − 4 = 0 og 5 · 0 = 0. Men hvis vi kan sette utenfor parentes og gange ut parenteser, kan vi skrive om det forrige eksempelet slik:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Vi har skrevet om uttrykket til et annet, men ekvivalent uttrykk. Venstre side av likningen må fortsatt være lik null, fordi det opprinnelige uttrykket 5 · (4 − 4) også var lik null. Nå regner vi ut 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Nå står det bare igjen uttrykket 5 · (−4). Men for at likningen skal stemme, hva må dette uttrykket være lik? Hvilket tall må vi legge til 20 for å få null? Det er tallet −20. Det eneste mulige resultatet av uttrykket 5 · (−4) er altså −20. Vi ser igjen at produktet av et positivt og et negativt tall er et negativt tall.

Produktet av to negative tall

Produktet av to negative tall gir et positivt tall. Ved første øyekast kan det virke rart, men det er ganske forståelig. Det fungerer på samme måte i språket hvis du bruker dobbel nektelse: i kunngjøringen «vi skal ikke være uhøflige» har vi to nektelser, og likevel sier setningen det samme som «vi skal være høflige». (Her forutsetter vi at vi bare kan være enten høflige eller uhøflige. I teorien kunne vi være verken eller.)

En enkel begrunnelse finner du i neste del, med bevegelsen til mannen med kofferten. Først kommer en oversiktlig tabell over forholdet mellom positive og negative tall i et produkt:

$$\begin{array}{rcl}\text{positiv}\cdot \text{positiv}& =& \text{positiv}\\ \text{positiv}\cdot \text{negativ}& =& \text{negativ}\\ \text{negativ}\cdot \text{positiv}& =& \text{negativ}\\ \text{negativ}\cdot \text{negativ}& =& \text{positiv}\end{array}$$

Begrunnelse med bevegelse

Produkter med negative faktorer kan forklares fint med bevegelse. La oss tenke oss at vi står i origo på tallinjen. Omtrent slik:

La oss så ta produktet av to tall, for eksempel 2 · 3. Dette produktet viser vi på tallinjen som bevegelsen til mannen med kofferten. Det første tallet er lengden på skrittet og det andre tallet er antall skritt mannen tar, så vi kan se det som produktet skrittlengde · antall skritt.

Men vi tar også hensyn til negative tall. Hvis skrittlengden er positiv, går mannen vanlig framover, men hvis skrittlengden er negativ, går han baklengs. Hvis antall skritt er positivt, er mannen vendt mot høyre (som på figuren øverst), og hvis det er negativt, er han vendt mot venstre.

Tallet mannen med kofferten ender på, er resultatet av produktet av de to tallene. La oss se hva som skjer for alle kombinasjoner av positive og negative tall.

For produktet 2 · 3 er mannen vendt mot høyre og går framover. Han tar altså tre skritt på to ruter hver framover.

Mannen med kofferten ender på tallet 6, så resultatet er 2 · 3 = 6.

Nå prøver vi produktet −2 · 3. Det første tallet er negativt, og det betyr at mannen nå går baklengs. Det andre tallet er derimot positivt, så han ser mot høyre. Mannen ser altså mot høyre og tar tre skritt baklengs:

Vi ser at mannen med kofferten endte på tallet −6, og det stemmer med at −2 · 3 = −6.

Videre prøver vi 2 · (−3). Det første tallet er positivt, så mannen går framover. Men det andre tallet er negativt, så mannen er vendt mot venstre. Mannen ser mot venstre og tar tre skritt framover:

Mannen endte igjen på tallet −6, og det stemmer med at 2 · (−3) = −6. Vi ser at det er det samme om mannen er vendt mot venstre og går framover, eller om han er vendt mot høyre og går baklengs — i begge tilfeller ender han på de negative tallene.

Til slutt lar vi mannen regne ut −2 · (−3). Vi snur ham mot venstre og lar ham gå tre skritt baklengs:

Mannen endte, kanskje litt overraskende, på tallet 6. Vi kan altså si at −2 · (−3) = 6: produktet av to negative tall er lik et positivt tall.