Multiplikation af negative tal

Negative tal kan være lidt uintuitive, især når det kommer til deres produkt.

Sådan kan du forestille dig negative tal

I hverdagen møder vi ikke rigtig negative tal. Der er næppe nogen, der siger: »Hej, mormor, se — deroppe på bakken står der minus otte køer!« Det gør det så meget sværere at forklare multiplikation af negative tal.

Der er dog mindst ét tilfælde, hvor negative tal er klare for alle: et husholdningsbudget med indtægter og udgifter. Når du for eksempel kigger på din bankkonto, kan du se poster som:

• +15.000 kr.: udbetaling af løn
• −1753 kr.: indkøb i supermarkedet
• −980 kr.: indkøb af tyggegummi til et helt år
• +2500 kr.: statsstøtte til godt humør
• −8000 kr.: husleje

Hvis du får nogle penge, står der et plustegn ved beløbet, og hvis du bruger nogle penge, står der et minustegn — fordi du trækker de brugte penge fra din saldo.

Negative tal kan vi derfor forestille os som en udgift. Hvis vi har fået tusind kroner mere, skriver vi det som +1000, og hvis vi har brugt fem tusind, skriver vi det som −5000. Det behøver ikke kun at være penge: hvis vi tager seks stykker tyggegummi fra kurven, kan vi betegne det som −6.

Multiplikation af et negativt tal med et positivt

Hvad bliver så resultatet af produktet 7 · (−20)? Det handler i bund og grund om, hvilket fortegn resultatet får. Det er nok klart, at resultatet bliver enten 140 eller −140. Hvordan begrunder vi den rigtige fremgangsmåde?

Lad os forestille os, at én pakke tyggegummi koster 20 kr., og at vi køber 7. Nu spørger vi, hvor mange penge vi i alt har brugt på de syv pakker tyggegummi. Det er klart, vi har brugt 7 · 20 = 140 kr.

Men fordi det er penge, vi virkelig har brugt og ikke har fået, sætter vi et minustegn foran. Hvis vi lod resultatet stå som 140, ville det betyde, at det er vores indtægt, men det er vores udgift: derfor er resultatet 7 · (−20) = −140.

Vi kan igen omskrive det til addition: lad os forestille os, at vi kun har købt to pakker tyggegummi. Begge kostede tyve kroner, så i vores regnskab ville der stå

• −20 kr.: tyggegummi
• −20 kr.: tyggegummi

Det kan vi omskrive til 2 · (−20), eller vi kan lægge udgifterne sammen: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Så kan vi simpelthen skrive:

• −40 kr.: to pakker tyggegummi

Når vi ganger et positivt tal med et negativt (eller et negativt med et positivt, det er ligegyldigt), kan vi forestille os, at den negative del er en udgift, og det positive tal er antallet af disse udgifter. Og fordi vi lægger udgifter sammen, må resultatet også være negativt.

Algebraisk begrundelse

At multiplikation af et positivt og et negativt tal giver et negativt tal, kan også begrundes algebraisk. Lad os prøve at beregne dette eksempel: 5 · (4 − 4). Resultatet er åbenbart nul, fordi 4 − 4 = 0 og 5 · 0 = 0. Men hvis vi kender til at sætte uden for parentes og til at gange parenteser ud, kan vi omskrive det foregående eksempel også sådan her:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Vi har omskrevet udtrykket til et andet, men ækvivalent udtryk. Venstresiden skal stadig være lig med nul, fordi det oprindelige udtryk 5 · (4 − 4) også var lig med nul. Nu ganger vi 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Nu er der kun udtrykket 5 · (−4) tilbage. Men hvad skal dette udtryk være lig med, for at ligningen stadig gælder? Hvilket tal skal vi lægge til tallet 20 for at få nul? Det er tallet −20. Det eneste mulige resultat af udtrykket 5 · (−4) er altså tallet −20. Vi ser igen, at produktet af et positivt og et negativt tal giver et negativt tal.

Produktet af to negative tal

Produktet af to negative tal giver os et positivt tal. Ved første øjekast kan det virke mærkeligt, men det er ret forståeligt. Det fungerer også sådan i sproget, hvis du bruger dobbelt negation: i udsagnet »vi bliver ikke uhøflige« har vi to negationer, og alligevel siger sætningen det samme som sætningen »vi bliver høflige«. (Her antager vi dog, at vi kun kan være høflige eller uhøflige. Teoretisk kunne vi være ingen af delene.)

En let begrundelse finder du i næste afsnit om bevægelsen af manden med kufferten. Nu følger en overskuelig tabel over forholdet mellem positive og negative tal med hensyn til produktet:

$$\begin{array}{rcl}\text{positiv}\cdot \text{positiv}& =& \text{positiv}\\ \text{positiv}\cdot \text{negativ}& =& \text{negativ}\\ \text{negativ}\cdot \text{positiv}& =& \text{negativ}\\ \text{negativ}\cdot \text{negativ}& =& \text{positiv}\end{array}$$

Begrundelse ved hjælp af bevægelse

Produktet med negative faktorer kan forklares fint ved hjælp af bevægelse. Lad os forestille os, at vi står i begyndelsespunktet på tallinjen. Omtrent sådan her:

Lad os nu have et produkt af to tal, for eksempel 2 · 3. Dette produkt viser vi på tallinjen som bevægelsen af manden med kufferten. Det første tal er længden af hans skridt, og det andet tal er antallet af skridt, som manden tager, så vi kan se det som produktet skridtlængde · antal skridt.

Men vi tager også hensyn til negative tal. Hvis skridtlængden er positiv, går manden helt normalt fremad, men hvis skridtlængden er negativ, går han baglæns. Hvis antallet af skridt er positivt, er manden vendt mod højre (som på figuren ovenfor), og hvis det er negativt, er han vendt mod venstre.

Det tal, som manden med kufferten når frem til, er resultatet af produktet af de givne tal. Lad os se, hvordan det går for alle kombinationer af positive og negative tal.

For produktet 2 · 3 er manden vendt mod højre og går fremad. Han tager altså tre skridt fremad, hver på to kvadrater.

Manden med kufferten når frem til tallet 6, så resultatet er 2 · 3 = 6.

Nu prøver vi produktet −2 · 3. Det første tal er negativt, hvilket betyder, at manden nu går baglæns. Men det andet tal er positivt, så han ser mod højre. Manden kigger altså mod højre og tager tre skridt baglæns:

Vi ser, at manden med kufferten nåede frem til tallet −6, og det stemmer med, at −2 · 3 = −6.

Dernæst prøver vi 2 · (−3). Det første tal er positivt, så manden går fremad. Men det andet tal er negativt, så manden er vendt mod venstre. Manden kigger mod venstre og tager tre skridt fremad:

Manden nåede igen frem til tallet −6, og det stemmer med, at 2 · (−3) = −6. Det ses, at det er ligegyldigt, om manden er vendt mod venstre og går fremad, eller om han er vendt mod højre og går baglæns — i begge tilfælde ender han blandt de negative tal.

Til sidst sender vi manden af sted for at beregne −2 · (−3), så vi vender ham mod venstre og lader ham gå tre skridt baglæns:

Manden nåede, måske lidt overraskende, frem til tallet 6. Vi kan altså sige, at −2 · (−3) = 6, produktet af to negative tal er lig med et positivt tal.