Multiplicação de números negativos

Os números negativos podem ser pouco intuitivos, principalmente quando chega a vez do produto deles.

Como imaginar os números negativos

No dia a dia, não encontramos números negativos com muita frequência. Dificilmente alguém diz “ei, vovó, olha só: tem menos oito vacas ali no morro!” Por isso é ainda mais difícil explicar a multiplicação de números negativos.

Existe, porém, pelo menos um caso em que os números negativos são claros para todos: o orçamento doméstico, com suas receitas e despesas. Quando você olha, por exemplo, para a sua conta bancária, vê lançamentos como:

• +15.000 reais: pagamento do salário
• −1.753 reais: compras no supermercado
• −980 reais: compra de chicletes para o ano inteiro
• +2500 reais: auxílio do governo para o bom humor
• −8000 reais: aluguel

Se você recebe algum dinheiro, o valor vem com o sinal de mais; se gasta algum dinheiro, vem com o sinal de menos, porque esse dinheiro gasto é subtraído do seu saldo.

Assim, podemos imaginar os números negativos como um gasto. Se ganhamos mil reais a mais, escrevemos +1000; se gastamos cinco mil, escrevemos −5000. Não precisa ser apenas dinheiro: se tiramos seis chicletes da cesta, podemos indicar isso como −6.

Multiplicação de um número negativo por um positivo

Qual será, então, o resultado do produto 7 · (−20)? Basicamente, a questão é qual será o sinal do resultado. Provavelmente está claro que o resultado será 140 ou −140. Como justificar o procedimento correto?

Imaginemos que um pacote de chicletes custa 20 reais e nós compramos 7. Agora perguntamos: quanto dinheiro gastamos ao todo com esses sete pacotes? Isso é fácil, gastamos 7 · 20 = 140 reais.

Mas, como esse é um dinheiro que realmente gastamos, e não recebemos, acrescentamos o sinal de menos. Se deixássemos o resultado 140, isso significaria que é uma receita nossa, mas na verdade é um gasto nosso. Por isso o resultado é 7 · (−20) = −140.

Podemos de novo transformar isso em adição: imaginemos que compramos só dois pacotes de chicletes. Os dois custaram vinte reais, então na nossa contabilidade teríamos

• −20 reais: chicletes
• −20 reais: chicletes

Podemos reescrever isso como 2 · (−20), ou podemos somar esses gastos: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Então já podemos escrever simplesmente:

• −40 reais: dois pacotes de chicletes

Quando multiplicamos um número positivo por um negativo (ou um negativo por um positivo, tanto faz), podemos imaginar que a parte negativa representa um gasto e o número positivo representa a quantidade desses gastos. E, como estamos somando gastos, o resultado também tem de ser negativo.

Justificativa algébrica

Que a multiplicação de um número positivo por um negativo dá um número negativo também pode ser justificado algebricamente. Vamos tentar calcular esta conta: 5 · (4 − 4). Evidentemente o resultado é zero, porque 4 − 4 = 0 e 5 · 0 = 0. No entanto, se conhecemos a colocação em evidência e a propriedade distributiva, podemos reescrever a conta anterior também assim:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Reescrevemos a expressão como outra, mas equivalente. O lado esquerdo da equação continua tendo de ser igual a zero, porque a expressão original 5 · (4 − 4) também era igual a zero. Agora multiplicamos 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Agora só nos resta a expressão 5 · (−4). Mas, para que a equação continue válida, a que essa expressão tem de ser igual? Que número precisamos somar ao número 20 para obter zero? É o número −20. O único resultado possível da expressão 5 · (−4) é, portanto, o número −20. Vemos de novo que o produto de um número positivo por um negativo dá um número negativo.

Produto de dois números negativos

O produto de dois números negativos nos dá um número positivo. À primeira vista isso pode parecer estranho, mas é bastante compreensível. Isso funciona assim também na fala, se você usar uma dupla negação: no aviso “não vamos ser mal-educados” temos duas negações, e mesmo assim a frase diz o mesmo que “vamos ser educados”. (Aqui, porém, supomos que só podemos ser educados ou mal-educados. Em teoria, poderíamos não ser nem uma coisa nem outra.)

Uma justificativa fácil você encontra na próxima parte, com o movimento do homem da maleta. Agora segue ainda uma tabela clara com as relações entre números positivos e negativos em relação ao produto:

$$\begin{array}{rcl}\text{positivo}\cdot \text{positivo}& =& \text{positivo}\\ \text{positivo}\cdot \text{negativo}& =& \text{negativo}\\ \text{negativo}\cdot \text{positivo}& =& \text{negativo}\\ \text{negativo}\cdot \text{negativo}& =& \text{positivo}\end{array}$$

Justificativa pelo movimento

O produto com fatores negativos pode ser explicado muito bem com um movimento. Imaginemos que estamos parados na origem da reta numérica. Mais ou menos assim:

Agora tomemos o produto de dois números, por exemplo 2 · 3. Vamos mostrar esse produto na reta numérica como o movimento desse homem com a maleta. O primeiro número representará o comprimento do passo e o segundo número, a quantidade de passos que o homem dá, de modo que podemos ver isso como o produto comprimento do passo · número de passos.

Mas também vamos levar em conta os números negativos. Se o comprimento do passo é positivo, o homem anda normalmente para a frente, mas, se o comprimento do passo é negativo, ele anda de costas. Se o número de passos é positivo, o homem está virado para a direita (como na figura acima); se é negativo, ele está virado para a esquerda.

O número onde o homem com a maleta chega é o resultado do produto dos números dados. Vejamos como fica para todas as combinações de números positivos e negativos.

Para o produto 2 · 3, o homem está virado para a direita e anda para a frente. Ele dá, então, três passos de comprimento dois quadradinhos para a frente.

O homem com a maleta chega ao número 6, e o resultado é, portanto, 2 · 3 = 6.

Agora vamos tentar o produto −2 · 3. O primeiro número é negativo, o que significa que agora o homem vai andar de costas. Mas o segundo número é positivo, então ele vai olhar para a direita. Ou seja, o homem olha para a direita e dá três passos de costas:

Vemos que o homem com a maleta chegou ao número −6, o que combina com o fato de que −2 · 3 = −6.

Em seguida tentamos 2 · (−3). O primeiro número é positivo, então o homem vai andar para a frente. Mas o segundo número é negativo, então o homem ficará virado para a esquerda. Ele vai olhar para a esquerda e dar três passos para a frente:

O homem chegou de novo ao número −6, o que concorda com o fato de que 2 · (−3) = −6. Vê-se que tanto faz o homem estar virado para a esquerda e andar para a frente ou estar virado para a direita e andar de costas: nos dois casos ele chega aos números negativos.

Por último, mandamos o homem calcular −2 · (−3), então o viramos para a esquerda e o fazemos andar três passos de costas:

O homem, talvez de forma um pouco surpreendente, chegou ao número 6. Podemos então dizer que −2 · (−3) = 6: o produto de dois números negativos é igual a um número positivo.