Multiplicación de números negativos

Los números negativos pueden resultar poco intuitivos, sobre todo cuando llega el momento de su producto.

Cómo imaginar los números negativos

En la vida cotidiana no nos encontramos con números negativos todos los días. Poca gente dice «oye, abuela, mira: ¡en aquel monte hay menos ocho vacas!». Por eso es todavía más difícil explicar la multiplicación de números negativos.

Pero hay al menos un caso en que los números negativos están claros para todos: el presupuesto doméstico, sus ingresos y gastos. Por ejemplo, si miras tu cuenta bancaria, verás movimientos como estos:

• +1500 €: cobro de la nómina
• −175 €: compra en el supermercado
• −98 €: compra de chicles para todo el año
• +250 €: subvención del Estado para el buen humor
• −800 €: alquiler

Si recibes dinero, delante de la cantidad hay un signo más; si gastas dinero, hay un signo menos, porque ese dinero gastado lo restas de tu saldo.

Así, podemos imaginar los números negativos como un gasto. Si hemos ganado mil euros, lo escribimos como +1000; si hemos gastado cinco mil, lo escribimos como −5000. No tiene por qué ser solo dinero: si sacamos seis chicles de la bolsa, podemos anotarlo como −6.

Multiplicar un número negativo por uno positivo

¿Cuál será el resultado del producto 7 · (−2)? En el fondo se trata de qué signo tendrá el resultado. Está claro que el resultado será 14 o −14. ¿Cómo justificar el procedimiento correcto?

Imaginemos que un paquete de chicles cuesta 2 € y compramos 7. Ahora nos preguntamos cuánto dinero hemos gastado en total en estos siete paquetes. Eso está claro: hemos gastado 7 · 2 = 14 €.

Pero como es dinero que hemos gastado de verdad, no que hayamos ganado, le ponemos un signo menos. Si dejáramos el resultado 14, significaría que es un ingreso nuestro, pero en realidad es un gasto: por eso el resultado es 7 · (−2) = −14.

De nuevo lo podemos convertir en una suma: imaginemos que hemos comprado solo dos paquetes de chicles. Ambos costaron dos euros, así que en nuestra contabilidad habría

• −2 €: chicles
• −2 €: chicles

Eso lo podemos reescribir como 2 · (−2), o bien podemos sumar los gastos: −2 + (−2) = −2 − 2 = −4. Entonces ya podemos escribir simplemente:

• −4 €: dos paquetes de chicles

Cuando multiplicamos un número positivo por uno negativo (o uno negativo por uno positivo, es lo mismo), podemos pensar que la parte negativa representa un gasto y el número positivo representa cuántos gastos hay. Y como sumamos gastos, el resultado también tiene que ser negativo.

Justificación algebraica

Que la multiplicación de un número positivo y uno negativo da un número negativo también se puede justificar algebraicamente. Probemos a calcular este ejercicio: 5 · (4 − 4). Evidentemente el resultado es cero, porque 4 − 4 = 0 y 5 · 0 = 0. Sin embargo, si sabemos sacar factor común y quitar paréntesis, podemos reescribir el ejercicio anterior también así:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Hemos reescrito la expresión como otra equivalente. El miembro izquierdo de la ecuación tiene que seguir siendo igual a cero, porque la expresión original 5 · (4 − 4) también era igual a cero. Ahora multiplicamos 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Ahora solo nos queda la expresión 5 · (−4). Pero para que la ecuación siga siendo válida, ¿a qué tiene que ser igual esta expresión? ¿Qué número tenemos que sumar al número 20 para obtener cero? Es el número −20. El único resultado posible de la expresión 5 · (−4) es, por tanto, el número −20. De nuevo vemos que el producto de un número positivo y uno negativo da un número negativo.

Producto de dos números negativos

El producto de dos números negativos nos da un número positivo. A primera vista puede parecer raro, pero se entiende bastante bien. También funciona así en el lenguaje, si usas una doble negación: en el aviso «no seremos maleducados» hay dos negaciones, y sin embargo la frase nos dice lo mismo que «seremos educados». (Aquí suponemos que solo podemos ser educados o maleducados. En teoría podríamos no ser ni lo uno ni lo otro.)

Una justificación sencilla la encontrarás en la siguiente parte, con el movimiento del señor del maletín. Ahora viene una tabla clara con las relaciones entre números positivos y negativos con respecto al producto:

$$\begin{array}{rcl}\text{positivo}\cdot \text{positivo}& =& \text{positivo}\\ \text{positivo}\cdot \text{negativo}& =& \text{negativo}\\ \text{negativo}\cdot \text{positivo}& =& \text{negativo}\\ \text{negativo}\cdot \text{negativo}& =& \text{positivo}\end{array}$$

Justificación con el movimiento

El producto con factores negativos se puede explicar muy bien con un movimiento. Imaginemos que estamos en el origen de la recta numérica. Más o menos así:

Tomemos ahora un producto de dos números, por ejemplo 2 · 3. Mostraremos este producto en la recta numérica como el movimiento de ese señor con maletín. El primer número representará la longitud del paso y el segundo, el número de pasos que da el señor, así que podemos verlo como el producto longitud del paso · número de pasos.

Pero también tendremos en cuenta los números negativos. Si la longitud del paso es positiva, el señor avanza normalmente hacia delante, pero si la longitud del paso es negativa, va hacia atrás. Si el número de pasos es positivo, el señor mira hacia la derecha (como en la figura de arriba); si es negativo, mira hacia la izquierda.

El número al que llegue el señor del maletín es el resultado del producto de los números dados. Veamos cómo sale para todas las combinaciones de números positivos y negativos.

Para el producto 2 · 3 el señor mira hacia la derecha y avanza hacia delante. Da así tres pasos de dos cuadraditos de longitud hacia delante.

El señor del maletín llega al número 6, así que el resultado es 2 · 3 = 6.

Ahora probamos el producto −2 · 3. El primer número es negativo, lo que significa que ahora el señor irá hacia atrás. Pero el segundo número es positivo, así que mirará hacia la derecha. Es decir, el señor mira hacia la derecha y da tres pasos hacia atrás:

Vemos que el señor del maletín ha llegado al número −6, lo que concuerda con que −2 · 3 = −6.

Después probamos 2 · (−3). El primer número es positivo, así que el señor avanzará hacia delante. Pero el segundo número es negativo, así que mirará hacia la izquierda. El señor mirará hacia la izquierda y dará tres pasos hacia delante:

El señor ha llegado de nuevo al número −6, lo que concuerda con que 2 · (−3) = −6. Se ve que da igual si el señor mira hacia la izquierda y avanza hacia delante, o si mira hacia la derecha y va hacia atrás: en ambos casos llega a los números negativos.

Por último, mandamos al señor a calcular −2 · (−3), así que lo giramos hacia la izquierda y le hacemos andar tres pasos hacia atrás:

El señor, quizá un poco sorprendentemente, ha llegado al número 6. Podemos decir, por tanto, que −2 · (−3) = 6: el producto de dos números negativos es igual a un número positivo.