Multiplikation negativer Zahlen

Negative Zahlen können ein wenig unanschaulich sein, besonders wenn es um ihr Produkt geht.

Wie man sich negative Zahlen vorstellt

Im Alltag begegnen wir negativen Zahlen nicht gerade oft. Kaum jemand sagt „Hey, Oma, schau mal – dort auf dem Hügel stehen minus acht Kühe!“ Umso schwerer lässt sich die Multiplikation negativer Zahlen erklären.

Es gibt aber mindestens einen Fall, in dem negative Zahlen allen klar sind: das Haushaltsbudget, seine Einnahmen und Ausgaben. Wenn du zum Beispiel auf dein Bankkonto schaust, siehst du dort Posten wie:

• +15.000 €: Gehaltszahlung
• −1.753 €: Einkauf im Supermarkt
• −980 €: Kauf von Kaugummis für das ganze Jahr
• +2500 €: staatlicher Zuschuss für gute Laune
• −8000 €: Miete

Wenn du Geld bekommst, steht beim Betrag ein Pluszeichen, wenn du Geld ausgibst, steht dort ein Minuszeichen – weil du dieses ausgegebene Geld von deinem Kontostand abziehst.

Negative Zahlen können wir uns also als eine Ausgabe vorstellen. Wenn wir tausend Euro dazubekommen haben, schreiben wir das als +1000, wenn wir fünftausend ausgegeben haben, schreiben wir −5000. Es muss nicht nur um Geld gehen: Wenn wir sechs Kaugummis aus dem Korb nehmen, können wir das als −6 bezeichnen.

Multiplikation einer negativen Zahl mit einer positiven

Was wird also das Ergebnis des Produkts 7 · (−20) sein? Im Grunde geht es darum, welches Vorzeichen das Ergebnis hat. Es ist wohl klar, dass das Ergebnis entweder 140 oder −140 sein wird. Wie begründen wir das richtige Vorgehen?

Stellen wir uns vor, dass ein Taschenbuch 20 € kostet und wir 7 davon kaufen. Jetzt fragen wir, wie viel Geld wir insgesamt für diese sieben Bücher ausgegeben haben. Das ist klar, wir haben 7 · 20 = 140 € ausgegeben.

Aber weil es Geld ist, das wir wirklich ausgegeben und nicht bekommen haben, setzen wir ein Minuszeichen davor. Würden wir das Ergebnis 140 lassen, würde das bedeuten, dass es unsere Einnahme ist, aber es ist unsere Ausgabe: Deshalb ist das Ergebnis 7 · (−20) = −140.

Wir können das wieder in eine Addition umwandeln: Stellen wir uns vor, wir hätten nur zwei Bücher gekauft. Beide kosteten zwanzig Euro, also stünde in unserer Buchführung

• −20 €: Buch
• −20 €: Buch

Das können wir als 2 · (−20) schreiben, oder wir können die Ausgaben addieren: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Dann können wir einfach schreiben:

• −40 €: zwei Bücher

Wenn wir eine positive Zahl mit einer negativen multiplizieren (oder eine negative mit einer positiven, das ist egal), können wir uns das so vorstellen, dass der negative Teil eine Ausgabe darstellt und die positive Zahl die Anzahl dieser Ausgaben. Und weil wir Ausgaben addieren, muss das Ergebnis ebenfalls negativ sein.

Algebraische Begründung

Dass die Multiplikation einer positiven und einer negativen Zahl eine negative Zahl ergibt, lässt sich auch algebraisch begründen. Versuchen wir, diese Aufgabe zu berechnen: 5 · (4 − 4). Das Ergebnis ist offensichtlich null, denn 4 − 4 = 0 und 5 · 0 = 0. Wenn wir jedoch das Ausklammern und das Ausmultiplizieren von Klammern kennen, können wir die vorige Aufgabe auch so umschreiben:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Wir haben den Term in einen anderen, aber äquivalenten umgeschrieben. Die linke Seite der Gleichung muss weiterhin null sein, weil auch der ursprüngliche Term 5 · (4 − 4) gleich null war. Nun multiplizieren wir 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Jetzt bleibt uns dort nur noch der Term 5 · (−4). Aber welchen Wert muss dieser Term haben, damit die Gleichung gültig bleibt? Welche Zahl müssen wir zur Zahl 20 addieren, um null zu erhalten? Es ist die Zahl −20. Das einzig mögliche Ergebnis des Terms 5 · (−4) ist also die Zahl −20. Wieder sehen wir, dass das Produkt einer positiven und einer negativen Zahl eine negative Zahl ergibt.

Produkt zweier negativer Zahlen

Das Produkt zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl. Auf den ersten Blick mag das seltsam wirken, aber es ist durchaus verständlich. So funktioniert es auch in der Sprache, wenn du eine doppelte Verneinung verwendest: In der Ankündigung „wir werden nicht unhöflich sein“ haben wir zwei Verneinungen, und trotzdem sagt uns dieser Satz dasselbe wie der Satz „wir werden höflich sein“. (Hier setzen wir aber voraus, dass wir nur höflich oder unhöflich sein können. Theoretisch müssten wir auch keins von beiden sein.)

Eine leichte Begründung findest du im nächsten Abschnitt mit der Bewegung des Mannes mit dem Koffer. Jetzt folgt noch eine übersichtliche Tabelle der Beziehungen zwischen positiven und negativen Zahlen in Bezug auf das Produkt:

$$\begin{array}{rcl}\text{positiv}\cdot \text{positiv}& =& \text{positiv}\\ \text{positiv}\cdot \text{negativ}& =& \text{negativ}\\ \text{negativ}\cdot \text{positiv}& =& \text{negativ}\\ \text{negativ}\cdot \text{negativ}& =& \text{positiv}\end{array}$$

Begründung durch Bewegung

Ein Produkt mit negativen Faktoren lässt sich schön an einer Bewegung erklären. Stellen wir uns vor, dass wir im Ursprung der Zahlengeraden stehen. Etwa so:

Weiter nehmen wir ein Produkt zweier Zahlen, zum Beispiel 2 · 3. Dieses Produkt zeigen wir auf der Zahlengeraden als Bewegung dieses Mannes mit dem Koffer. Dabei stellt die erste Zahl die Schrittlänge dar und die zweite die Anzahl der Schritte, die der Mann macht, sodass wir es als Produkt Schrittlänge · Anzahl der Schritte sehen können.

Dabei berücksichtigen wir aber auch negative Zahlen. Ist die Schrittlänge positiv, geht der Mann normal vorwärts, ist die Schrittlänge aber negativ, geht er rückwärts. Ist die Anzahl der Schritte positiv, ist der Mann nach rechts gedreht (wie auf dem Bild oben), ist sie negativ, ist er nach links gedreht.

Bei welcher Zahl der Mann mit dem Koffer ankommt, das ist das Ergebnis des Produkts der gegebenen Zahlen. Schauen wir uns an, wie es für alle Kombinationen positiver und negativer Zahlen ausgeht.

Beim Produkt 2 · 3 ist der Mann nach rechts gedreht und geht vorwärts. Er macht also drei Schritte der Länge zwei Quadrate vorwärts.

Der Mann mit dem Koffer kommt bei der Zahl 6 an, das Ergebnis ist also 2 · 3 = 6.

Nun probieren wir das Produkt −2 · 3. Die erste Zahl ist negativ, das bedeutet, dass der Mann jetzt rückwärts geht. Die zweite Zahl ist aber positiv, also schaut er nach rechts. Der Mann schaut also nach rechts und macht drei Schritte rückwärts:

Wir sehen, dass der Mann mit dem Koffer bei der Zahl −6 angekommen ist, was dazu passt, dass −2 · 3 = −6.

Weiter probieren wir 2 · (−3). Die erste Zahl ist positiv, also geht der Mann vorwärts. Die zweite Zahl ist aber negativ, also ist der Mann nach links gedreht. Der Mann schaut nach links und macht drei Schritte vorwärts:

Der Mann ist wieder bei der Zahl −6 angekommen, was damit übereinstimmt, dass 2 · (−3) = −6. Man sieht, dass es egal ist, ob der Mann nach links gedreht ist und vorwärts geht oder nach rechts gedreht ist und rückwärts geht – in beiden Fällen kommt er bei den negativen Zahlen an.

Zuletzt schicken wir den Mann los, −2 · (−3) zu berechnen, also drehen wir ihn nach links und lassen ihn drei Schritte rückwärts gehen:

Der Mann ist, vielleicht etwas überraschend, bei der Zahl 6 angekommen. Wir können also sagen, dass −2 · (−3) = 6, das Produkt zweier negativer Zahlen ist gleich einer positiven Zahl.