Moltiplicazione di numeri negativi

I numeri negativi possono essere un po’ controintuitivi, soprattutto quando si arriva al loro prodotto.

Come immaginare i numeri negativi

Nella vita di tutti i giorni i numeri negativi non li incontriamo molto spesso. Difficilmente qualcuno dirà «ehi, nonna, guarda – lassù sul monte ci sono meno otto mucche!». Per questo è ancora più difficile spiegare la moltiplicazione di numeri negativi.

C’è però almeno un caso in cui i numeri negativi sono chiari a tutti: il bilancio familiare, con le sue entrate e le sue uscite. Se, per esempio, guardi il tuo conto in banca, vedrai voci come queste:

• +1500 €: stipendio
• −175 €: spesa al supermercato
• −98 €: gomme da masticare per tutto l’anno
• +250 €: bonus statale per il buonumore
• −800 €: affitto

Se ricevi dei soldi, davanti alla cifra c’è il segno più; se spendi dei soldi, c’è il segno meno – perché quei soldi spesi li sottrai dal tuo saldo.

Possiamo quindi immaginare i numeri negativi come una spesa. Se abbiamo guadagnato mille euro, lo scriviamo come +1000; se ne abbiamo spesi cinquemila, lo scriviamo come −5000. Non devono essere per forza soldi: se prendiamo dal cestino sei gomme da masticare, possiamo indicarlo come −6.

Moltiplicazione di un numero negativo per uno positivo

Quale sarà il risultato del prodotto 7 · (−2)? In sostanza si tratta di stabilire quale segno avrà il risultato. È chiaro che il risultato sarà 14 oppure −14. Come giustificare il procedimento corretto?

Immaginiamo che un pacchetto di gomme da masticare costi 2 € e che noi ne compriamo 7. Ora ci chiediamo quanto abbiamo speso in tutto per questi sette pacchetti. È semplice: abbiamo speso 7 · 2 = 14 €.

Ma siccome sono soldi che abbiamo davvero speso, non guadagnato, ci mettiamo il segno meno. Se lasciassimo il risultato 14, vorrebbe dire che è un’entrata, mentre in realtà è una spesa: per questo il risultato è 7 · (−2) = −14.

Possiamo di nuovo ricondurre tutto a un’addizione: immaginiamo di aver comprato solo due pacchetti. Entrambi sono costati due euro, quindi nella nostra contabilità ci sarebbe

• −2 €: gomme da masticare
• −2 €: gomme da masticare

Questo si può riscrivere come 2 · (−2), oppure possiamo sommare le spese: −2 + (−2) = −2 − 2 = −4. A questo punto possiamo scrivere semplicemente:

• −4 €: due pacchetti di gomme da masticare

Quando moltiplichiamo un numero positivo per uno negativo (o uno negativo per uno positivo, è lo stesso), possiamo pensare che la parte negativa rappresenti una spesa e che il numero positivo rappresenti quante sono queste spese. E siccome sommiamo spese, anche il risultato deve essere negativo.

Giustificazione algebrica

Il fatto che la moltiplicazione di un numero positivo per uno negativo dia un numero negativo si può giustificare anche per via algebrica. Proviamo a calcolare questo esempio: 5 · (4 − 4). Il risultato è ovviamente zero, perché 4 − 4 = 0 e 5 · 0 = 0. Tuttavia, se conosciamo il raccoglimento a fattor comune e come si eliminano le parentesi, possiamo riscrivere l’esempio precedente anche così:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Abbiamo trasformato l’espressione in un’altra, ma equivalente. Il primo membro dell’equazione deve continuare a essere uguale a zero, perché anche l’espressione originale 5 · (4 − 4) era uguale a zero. Ora calcoliamo 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Adesso resta solo l’espressione 5 · (−4). Ma, perché l’uguaglianza resti valida, a cosa deve essere uguale questa espressione? Quale numero dobbiamo sommare a 20 per ottenere zero? È il numero −20. L’unico risultato possibile dell’espressione 5 · (−4) è quindi −20. Vediamo così ancora una volta che il prodotto di un numero positivo per uno negativo è un numero negativo.

Prodotto di due numeri negativi

Il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo. A prima vista può sembrare strano, ma è abbastanza comprensibile. Succede così anche nel linguaggio, se usi la doppia negazione: nell’annuncio «non saremo scortesi» ci sono due negazioni, eppure la frase dice la stessa cosa di «saremo cortesi». (Qui però supponiamo di poter essere soltanto cortesi o scortesi. In teoria potremmo non essere né l’uno né l’altro.)

Una spiegazione semplice la trovi nella prossima parte, con il movimento del signore con la valigetta. Ora segue una tabella riassuntiva della regola dei segni nel prodotto di numeri positivi e negativi:

$$\begin{array}{rcl}\text{positivo}\cdot \text{positivo}& =& \text{positivo}\\ \text{positivo}\cdot \text{negativo}& =& \text{negativo}\\ \text{negativo}\cdot \text{positivo}& =& \text{negativo}\\ \text{negativo}\cdot \text{negativo}& =& \text{positivo}\end{array}$$

Giustificazione con il movimento

Un prodotto con fattori negativi si spiega bene con il movimento. Immaginiamo di trovarci nell’origine della retta dei numeri. Più o meno così:

Prendiamo poi un prodotto di due numeri, per esempio 2 · 3. Mostreremo questo prodotto sulla retta dei numeri come il movimento del signore con la valigetta. Il primo numero rappresenta la lunghezza del passo e il secondo il numero di passi che il signore compie, quindi possiamo vederlo come il prodotto lunghezza del passo · numero di passi.

Teniamo però conto anche dei numeri negativi. Se la lunghezza del passo è positiva, il signore va normalmente avanti, ma se la lunghezza del passo è negativa, va all’indietro. Se il numero di passi è positivo, il signore è rivolto verso destra (come nella figura qui sopra), se è negativo, è rivolto verso sinistra.

Il numero a cui arriva il signore con la valigetta è il risultato del prodotto dei numeri dati. Vediamo come va a finire per tutte le combinazioni di numeri positivi e negativi.

Per il prodotto 2 · 3 il signore è rivolto verso destra e va avanti. Fa quindi tre passi in avanti, lunghi due quadretti ciascuno.

Il signore con la valigetta arriva al numero 6, quindi il risultato è 2 · 3 = 6.

Proviamo ora il prodotto −2 · 3. Il primo numero è negativo, il che significa che stavolta il signore andrà all’indietro. Il secondo numero però è positivo, quindi guarderà verso destra. Il signore guarda a destra e fa tre passi all’indietro:

Vediamo che il signore con la valigetta è arrivato al numero −6, il che concorda con il fatto che −2 · 3 = −6.

Proviamo poi 2 · (−3). Il primo numero è positivo, quindi il signore andrà avanti. Ma il secondo numero è negativo, quindi il signore sarà rivolto verso sinistra. Il signore guarda a sinistra e fa tre passi in avanti:

Il signore è arrivato di nuovo al numero −6, il che concorda con 2 · (−3) = −6. Si vede che non importa se il signore è rivolto a sinistra e va avanti oppure è rivolto a destra e va all’indietro – in entrambi i casi arriva tra i numeri negativi.

Per ultimo mandiamo il signore a calcolare −2 · (−3): lo giriamo verso sinistra e gli facciamo fare tre passi all’indietro:

Il signore, forse un po’ a sorpresa, è arrivato al numero 6. Possiamo quindi dire che −2 · (−3) = 6: il prodotto di due numeri negativi è uguale a un numero positivo.