Multiplikation av negativa tal
Negativa tal kan vara lite ointuitiva, särskilt när vi ska multiplicera dem.
Hur man föreställer sig negativa tal
I vardagen stöter vi egentligen inte på negativa tal så ofta. Det är nog få som säger ”titta, mormor — där på kullen står minus åtta kor!” Desto svårare är det att förklara multiplikation av negativa tal.
Det finns ändå minst ett fall där alla förstår negativa tal: hushållsbudgeten, med dess inkomster och utgifter. När du till exempel tittar på ditt bankkonto ser du poster som:
- +25 000 kr: lön
- −1400 kr: matinköp på stormarknaden
- −750 kr: tuggummi för ett helt år
- +2000 kr: statligt bidrag för gott humör
- −8000 kr: hyra
Om du får pengar står det plustecken vid beloppet, om du spenderar pengar står det minustecken — eftersom pengarna som du har spenderat dras av från ditt saldo.
Negativa tal kan vi alltså tänka oss som en utgift. Om vi har fått tusen kronor skriver vi det som +1000, om vi har spenderat fem tusen skriver vi −5000. Det behöver inte bara vara pengar, om vi tar sex tuggummin ur korgen kan vi beteckna det som −6.
Multiplikation av ett negativt tal med ett positivt
Vad blir då resultatet av produkten 7 · (−20)? I grunden handlar det om vilket tecken resultatet får. Det är nog klart att resultatet blir antingen 140 eller −140. Hur kan vi motivera vilket som är rätt?
Tänk dig att ett paket tuggummi kostar 20 kr och att vi köper 7 stycken. Nu frågar vi hur mycket pengar vi sammanlagt har spenderat på de sju paketen. Det är klart, vi har spenderat 7 · 20 = 140 kr.
Men eftersom det är pengar som vi verkligen har spenderat, inte fått, sätter vi dit ett minustecken. Om vi lät resultatet vara 140 skulle det betyda att det är vår inkomst, men det är vår utgift: därför är resultatet 7 · (−20) = −140.
Vi kan återigen skriva om det till addition: tänk dig att vi bara har köpt två paket tuggummi. Båda kostade tjugo kronor, så i vår bokföring skulle det stå
- −20 kr: tuggummi
- −20 kr: tuggummi
Det kan vi skriva som 2 · (−20), eller så kan vi addera utgifterna: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Då kan vi helt enkelt skriva:
- −40 kr: två paket tuggummi
När vi multiplicerar ett positivt tal med ett negativt (eller ett negativt med ett positivt, det är detsamma) kan vi tänka oss att den negativa delen står för en utgift och det positiva talet för antalet utgifter. Och eftersom vi adderar utgifter måste resultatet också vara negativt.
Algebraisk motivering
Att multiplikation av ett positivt och ett negativt tal ger ett negativt tal kan också motiveras algebraiskt. Vi försöker beräkna det här exemplet: 5 · (4 − 4). Resultatet är uppenbarligen noll, eftersom 4 − 4 = 0 och 5 · 0 = 0. Men om vi kan bryta ut en gemensam faktor och multiplicera in i parentesen, kan vi skriva om det föregående exemplet också så här:
Vi skrev om uttrycket till ett annat, men likvärdigt uttryck. Vänsterledet måste fortfarande vara lika med noll, eftersom det ursprungliga uttrycket 5 · (4 − 4) också var lika med noll. Nu multiplicerar vi 5 · 4 = 20:
Nu återstår bara uttrycket 5 · (−4). Men för att ekvationen ska förbli giltig, vad måste det här uttrycket vara lika med? Vilket tal måste vi addera till talet 20 för att få noll? Det är talet −20. Det enda möjliga resultatet av uttrycket 5 · (−4) är alltså talet −20. Vi ser återigen att produkten av ett positivt och ett negativt tal är ett negativt tal.
Produkten av två negativa tal
Produkten av två negativa tal ger oss ett positivt tal. Vid första anblicken kan det verka konstigt, men det är ganska begripligt. Det fungerar så även i språket, om du använder en dubbel negation: i meddelandet ”vi ska inte vara oartiga” finns två negationer, och ändå säger meningen samma sak som meningen ”vi ska vara artiga”. (Här antar vi dock att vi bara kan vara antingen artiga eller oartiga. I teorin skulle vi kunna vara varken eller.)
En enkel motivering hittar du i nästa avsnitt, med mannen med portföljen som rör sig. Först följer en översiktlig tabell över sambanden mellan positiva och negativa tal med avseende på produkten:
Motivering med rörelse
Produkten med negativa faktorer kan förklaras fint med hjälp av rörelse. Tänk dig att vi står i origo på tallinjen. Ungefär så här:
Låt oss ta en produkt av två tal, till exempel 2 · 3. Den produkten visar vi på tallinjen som en rörelse av mannen med portföljen. Det första talet står för stegets längd och det andra för antalet steg som mannen tar, så vi kan se det som produkten stegets längd · antal steg.
Samtidigt tar vi hänsyn även till negativa tal. Om stegets längd är positiv går mannen helt vanligt framåt, men om stegets längd är negativ går han baklänges. Om antalet steg är positivt är mannen vänd åt höger (som på bilden ovan), om det är negativt är han vänd åt vänster.
Vilket tal mannen med portföljen når, det är resultatet av produkten av de givna talen. Vi tittar på hur det går för alla kombinationer av positiva och negativa tal.
För produkten 2 · 3 är mannen vänd åt höger och går framåt. Han tar alltså tre steg framåt, vart och ett med längden två rutor.
Mannen med portföljen når talet 6, så resultatet är 2 · 3 = 6.
Nu prövar vi produkten −2 · 3. Det första talet är negativt, vilket betyder att mannen nu går baklänges. Det andra talet är dock positivt, så han tittar åt höger. Mannen tittar alltså åt höger och tar tre steg baklänges:
Vi ser att mannen med portföljen nådde talet −6, vilket stämmer med att −2 · 3 = −6.
Sedan prövar vi 2 · (−3). Det första talet är positivt, så mannen går framåt. Men det andra talet är negativt, så mannen är vänd åt vänster. Mannen tittar åt vänster och tar tre steg framåt:
Mannen kom återigen till talet −6, vilket stämmer med att 2 · (−3) = −6. Man ser att det inte spelar någon roll om mannen är vänd åt vänster och går framåt eller om han är vänd åt höger och går baklänges — i båda fallen hamnar han bland de negativa talen.
Till sist låter vi mannen beräkna −2 · (−3), så vi vänder honom åt vänster och låter honom gå tre steg baklänges:
Mannen kom, kanske lite överraskande, till talet 6. Vi kan alltså säga att −2 · (−3) = 6, produkten av två negativa tal är lika med ett positivt tal.
Kapitel: Multiplikation, Skriftlig multiplikation, Multiplikation av negativa tal
