Înmulțirea numerelor negative

Numerele negative pot fi puțin neintuitive, mai ales când vine vorba de produsul lor.

Cum ne imaginăm numerele negative

În viața de zi cu zi nu prea întâlnim numere negative. Rar va spune cineva „hei, bunico, uite – acolo pe deal sunt minus opt vaci!” Cu atât mai greu se explică înmulțirea numerelor negative.

Există însă cel puțin un caz în care numerele negative sunt clare pentru toți: bugetul familiei, veniturile și cheltuielile lui. Dacă te uiți, de exemplu, la contul tău bancar, vei vedea tranzacții precum:

• +3000 lei: salariul
• −350 lei: cumpărături la hipermarket
• −200 lei: gume de mestecat cumpărate pentru un an întreg
• +500 lei: ajutor de la stat pentru buna dispoziție
• −1600 lei: chiria

Dacă primești bani, suma are semnul plus; dacă cheltuiești bani, are semnul minus – pentru că acești bani cheltuiți îi scazi din sold.

Numerele negative ni le putem închipui deci ca pe o cheltuială. Dacă am primit o mie de lei, scriem +1000, dacă am cheltuit cinci mii, scriem −5000. Nu trebuie să fie vorba doar de bani: dacă luăm din coș șase gume de mestecat, putem nota asta cu −6.

Înmulțirea unui număr negativ cu unul pozitiv

Care va fi deci rezultatul produsului 7 · (−20)? În esență, e vorba de ce semn va avea rezultatul. Probabil e clar că rezultatul va fi fie 140, fie −140. Cum justificăm varianta corectă?

Să ne închipuim că un pachet de gume costă 20 de lei și noi cumpărăm 7. Acum ne întrebăm cât am cheltuit în total pe aceste șapte pachete. E clar, am cheltuit 7 · 20 = 140 de lei.

Dar pentru că sunt bani pe care i-am cheltuit cu adevărat, nu i-am câștigat, adăugăm semnul minus. Dacă am lăsa rezultatul 140, ar însemna că este venitul nostru, dar el este cheltuiala noastră: de aceea rezultatul este 7 · (−20) = −140.

Putem transforma din nou în adunare: să ne închipuim că am cumpărat doar două pachete de gume. Ambele au costat câte douăzeci de lei, deci în evidența noastră ar fi

• −20 lei: gume de mestecat
• −20 lei: gume de mestecat

Putem scrie asta ca 2 · (−20) sau putem aduna acele cheltuieli: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Atunci putem scrie simplu:

• −40 lei: două pachete de gume

Când înmulțim un număr pozitiv cu unul negativ (sau unul negativ cu unul pozitiv, e același lucru), ne putem imagina că partea negativă reprezintă o cheltuială, iar numărul pozitiv reprezintă numărul acelor cheltuieli. Și pentru că adunăm cheltuieli, rezultatul trebuie să fie și el negativ.

Justificarea algebrică

Faptul că înmulțirea unui număr pozitiv cu unul negativ dă un număr negativ se poate justifica și algebric. Să încercăm să calculăm acest exemplu: 5 · (4 − 4). Evident, rezultatul este zero, deoarece 4 − 4 = 0 și 5 · 0 = 0. Totuși, dacă știm scoaterea factorului comun și desfacerea parantezelor, putem rescrie exemplul anterior și astfel:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Am rescris expresia într-una diferită, dar echivalentă. Membrul stâng al egalității trebuie să rămână egal cu zero, deoarece și expresia inițială 5 · (4 − 4) era egală cu zero. Acum calculăm 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Acum ne-a mai rămas doar expresia 5 · (−4). Dar ca egalitatea să rămână adevărată, cu ce trebuie să fie egală această expresie? Ce număr trebuie să adunăm la 20 ca să obținem zero? Este numărul −20. Singurul rezultat posibil al expresiei 5 · (−4) este deci numărul −20. Vedem din nou că produsul dintre un număr pozitiv și unul negativ este un număr negativ.

Produsul a două numere negative

Produsul a două numere negative ne dă un număr pozitiv. La prima vedere poate părea ciudat, dar este destul de ușor de înțeles. Așa funcționează și în vorbire, dacă folosești o dublă negație: în enunțul „nu vom fi nepoliticoși” avem două negații, iar propoziția ne spune același lucru ca „vom fi politicoși”. (Aici presupunem însă că putem fi doar politicoși sau nepoliticoși. Teoretic am putea să nu fim nici una, nici alta.)

O justificare ușoară găsești în secțiunea următoare, cu mișcarea domnului cu servieta. Acum urmează un tabel sintetic cu relațiile dintre numerele pozitive și negative în privința produsului:

$$\begin{array}{rcl}\text{pozitiv}\cdot \text{pozitiv}& =& \text{pozitiv}\\ \text{pozitiv}\cdot \text{negativ}& =& \text{negativ}\\ \text{negativ}\cdot \text{pozitiv}& =& \text{negativ}\\ \text{negativ}\cdot \text{negativ}& =& \text{pozitiv}\end{array}$$

Justificarea prin mișcare

Produsul cu factori negativi se poate explica frumos prin mișcare. Să ne închipuim că stăm în originea axei numerelor. Cam așa:

Să luăm acum un produs de două numere, de exemplu 2 · 3. Vom arăta acest produs pe axa numerelor ca mișcarea acelui domn cu servieta. Primul număr va reprezenta lungimea pasului, iar al doilea numărul de pași pe care îi face domnul, deci putem vedea produsul ca lungimea pasului · numărul pașilor.

Vom ține însă cont și de numerele negative. Dacă lungimea pasului este pozitivă, domnul merge normal înainte, dar dacă lungimea pasului este negativă, merge cu spatele. Dacă numărul de pași este pozitiv, domnul este întors spre dreapta (ca în figura de mai sus), dacă este negativ, este întors spre stânga.

La ce număr ajunge domnul cu servieta, acela este rezultatul produsului numerelor date. Să vedem cum iese pentru toate combinațiile de numere pozitive și negative.

Pentru produsul 2 · 3 domnul este întors spre dreapta și merge înainte. Face deci trei pași de lungime două pătrățele înainte.

Domnul cu servieta ajunge la numărul 6, deci rezultatul este 2 · 3 = 6.

Acum încercăm produsul −2 · 3. Primul număr este negativ, ceea ce înseamnă că acum domnul va merge cu spatele. Al doilea număr este însă pozitiv, deci se va uita spre dreapta. Așadar domnul privește spre dreapta și face trei pași cu spatele:

Vedem că domnul cu servieta a ajuns la numărul −6, ceea ce se potrivește cu faptul că −2 · 3 = −6.

Apoi încercăm 2 · (−3). Primul număr este pozitiv, deci domnul va merge înainte. Dar al doilea număr este negativ, deci domnul va fi întors spre stânga. Domnul se va uita spre stânga și va face trei pași înainte:

Domnul a ajuns din nou la numărul −6, ceea ce corespunde cu 2 · (−3) = −6. Se vede că este indiferent dacă domnul este întors spre stânga și merge înainte sau dacă este întors spre dreapta și merge cu spatele – în ambele cazuri ajunge în numerele negative.

În cele din urmă îl trimitem pe domn să calculeze −2 · (−3), deci îl întoarcem spre stânga și îl lăsăm să facă trei pași cu spatele:

Domnul, poate puțin surprinzător, a ajuns la numărul 6. Putem spune deci că −2 · (−3) = 6, produsul a două numere negative este egal cu un număr pozitiv.