Умножение на отрицателни числа

Отрицателните числа могат да са малко неинтуитивни, особено когато стигнем до тяхното произведение.

Как да си представим отрицателните числа

В ежедневието не се сблъскваме често с отрицателни числа. Едва ли някой ще каже: „Я виж, бабо – там на хълма има минус осем крави!“ Още по-трудно се обяснява умножението на отрицателни числа.

Има обаче поне един случай, в който отрицателните числа са ясни на всички: домашният бюджет, неговите приходи и разходи. Ако например погледнеш банковата си сметка, ще видиш записи като:

• +1500 €: заплата
• −175 €: пазаруване в хипермаркет
• −98 €: дъвки за цяла година
• +250 €: държавна добавка за добро настроение
• −800 €: наем

Ако получиш някакви пари, пред сумата стои знак плюс, а ако похарчиш някакви пари, стои знак минус – защото тези похарчени пари ги изваждаш от наличността си.

Така можем да си представяме отрицателните числа като някакъв разход. Ако сме получили хиляда евро, записваме +1000, а ако сме похарчили пет хиляди, записваме −5000. Не е нужно да са само пари – ако вземем от кошницата шест дъвки, можем да го означим като −6.

Умножение на отрицателно число с положително

Какъв ще бъде резултатът от произведението 7 · (−20)? По същество въпросът е какъв знак ще има резултатът. Ясно е, че резултатът ще е или 140, или −140. Как да обосновем правилния отговор?

Представи си, че една книга струва 20 € и ние купуваме 7 такива. Питаме колко пари сме похарчили общо за тези седем книги. Това е ясно – похарчили сме 7 · 20 = 140 €.

Но тъй като това са пари, които наистина сме похарчили, а не сме получили, добавяме знак минус. Ако оставим резултата 140, това би означавало, че е наш приход, а всъщност е наш разход: затова резултатът е 7 · (−20) = −140.

Можем отново да го сведем до събиране: представи си, че сме купили само две книги. И двете са стрували по двайсет евро, така че в сметките ни ще има

• −20 €: книга
• −20 €: книга

Това можем да запишем като 2 · (−20) или можем да съберем разходите: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Тогава можем просто да напишем:

• −40 €: две книги

Когато умножаваме положително число с отрицателно (или отрицателно с положително, все едно), можем да си представим, че отрицателната част е някакъв разход, а положителното число е броят на тези разходи. А тъй като събираме разходи, и резултатът трябва да е отрицателен.

Алгебрично обосноваване

Че умножението на положително и отрицателно число дава отрицателно число, може да се обясни и алгебрично. Нека пресметнем тази задача: 5 · (4 − 4). Очевидно резултатът е нула, защото 4 − 4 = 0 и 5 · 0 = 0. Ако обаче познаваме изнасянето пред скоби и разкриването на скоби, можем да препишем предишната задача и така:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Преобразувахме израза в друг, еквивалентен на него. Лявата страна на уравнението продължава да е равна на нула, защото първоначалният израз 5 · (4 − 4) също беше равен на нула. Сега умножаваме 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Сега остава само изразът 5 · (−4). Но за да остане уравнението вярно, на какво трябва да е равен този израз? Кое число трябва да прибавим към 20, за да получим нула? Това е числото −20. Единственият възможен резултат от израза 5 · (−4) е числото −20. Отново виждаме, че произведението на положително и отрицателно число е отрицателно число.

Произведение на две отрицателни числа

Произведението на две отрицателни числа ни дава положително число. На пръв поглед може да изглежда странно, но е съвсем разбираемо. Така работи и в езика, когато използваш двойно отрицание: в изречението „няма да бъдем невъзпитани“ има две отрицания, а изречението ни казва същото като „ще бъдем възпитани“. (Тук обаче приемаме, че можем да бъдем само възпитани или невъзпитани. Теоретично може да не сме нито едното, нито другото.)

Лесно обяснение ще намериш в следващия раздел, с движението на господина с куфарчето. А сега следва прегледна таблица на знаците при умножение на положителни и отрицателни числа:

$$\begin{array}{rcl}\text{положително}\cdot \text{положително}& =& \text{положително}\\ \text{положително}\cdot \text{отрицателно}& =& \text{отрицателно}\\ \text{отрицателно}\cdot \text{положително}& =& \text{отрицателно}\\ \text{отрицателно}\cdot \text{отрицателно}& =& \text{положително}\end{array}$$

Обосноваване чрез движение

Произведението с отрицателни множители може добре да се обясни чрез движение. Представи си, че стоим в началото на числовата ос. Приблизително така:

Нека имаме произведение на две числа, например 2 · 3. Това произведение ще показваме върху числовата ос като движение на господина с куфарчето. Първото число ще представлява дължината на крачката, а второто – броя на крачките, които господинът прави, така че можем да го разглеждаме като произведение дължина на крачката · брой крачки.

При това ще вземем предвид и отрицателните числа. Ако дължината на крачката е положителна, господинът върви нормално напред, а ако дължината на крачката е отрицателна, върви заднешком. Ако броят на крачките е положителен, господинът е обърнат надясно (както на фигурата по-горе), а ако е отрицателен, е обърнат наляво.

Числото, до което стигне господинът с куфарчето, е резултатът от произведението на дадените числа. Нека видим какво се получава при всички комбинации от положителни и отрицателни числа.

За произведението 2 · 3 господинът е обърнат надясно и върви напред. Така прави три крачки с дължина две квадратчета напред.

Господинът с куфарчето стига до числото 6, така че резултатът е 2 · 3 = 6.

Сега ще опитаме с произведението −2 · 3. Първото число е отрицателно, което означава, че този път господинът ще върви заднешком. Но второто число е положително, така че ще гледа надясно. Значи господинът гледа надясно и прави три крачки заднешком:

Виждаме, че господинът с куфарчето е стигнал до числото −6, което съвпада с −2 · 3 = −6.

След това ще опитаме 2 · (−3). Първото число е положително, така че господинът ще върви напред. Но второто число е отрицателно, така че господинът ще е обърнат наляво. Ще гледа наляво и ще направи три крачки напред:

Господинът отново е стигнал до числото −6, което съвпада с 2 · (−3) = −6. Вижда се, че е все едно дали господинът е обърнат наляво и върви напред, или е обърнат надясно и върви заднешком – и в двата случая стига до отрицателните числа.

Накрая ще пратим господина да пресметне −2 · (−3), така че го обръщаме наляво и го оставяме да върви три крачки заднешком:

Господинът, може би малко изненадващо, е стигнал до числото 6. Така можем да кажем, че −2 · (−3) = 6, произведението на две отрицателни числа е равно на положително число.